Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Єгипетські дроби



План:


Введення

Єгипетська дріб - в математиці сума декількох (кінцевого числа) різних дробів виду \ Frac {1} {n} (Так званих аліквотних дробів). Іншими словами, кожна дріб суми має чисельник, дорівнює одиниці, і знаменник, який представляє собою натуральне число.

Приклад: \ Frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {16} .

Єгипетська дріб являє собою позитивне раціональне число виду a / b; наприклад, єгипетська дріб, записана вище, може бути записана у вигляді дробу 43/48. Можна показати, що кожне позитивне раціональне число може бути представлено у вигляді єгипетської дробу (взагалі кажучи, кількома способами). Сума такого типу використовувалася математиками для запису довільних дробів, починаючи з часів стародавнього Єгипту до середньовіччя. У сучасній математиці замість єгипетських дробів використовуються прості і десяткові дроби, однак єгипетські знаки продовжують вивчатися в теорії чисел і історії математики.


1. Історія

1.1. Стародавній Єгипет

Додаткову інформацію з даного питання див Єгипетська система числення, Математика в Давньому Єгипті.

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дробах є Математичний папірус Ринда. Три більш давніх тексту, в яких згадуються єгипетські знаки - це Єгипетський математичний шкіряний сувій, Московський математичний папірус і Дерев'яна табличка Ахміма. Папірус Ринда був написаний переписувачем Ахмеса в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2 / n, а також 84 математичних завдання, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф

D21

(Ер, "[один] з" або ре, рот) над числом для позначення одиничної дробу в звичайного запису, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:

D21
Z1Z1Z1
= \ Frac {1} {3}
D21
V20
= \ Frac {1} {10}

У них також були спеціальні символи для дробів 1 / 2, 2 / 3 і 3 / 4, якими можна було записувати також інші знаки (великі ніж 1 / 2).

Aa13
= \ Frac {1} {2}
D22
= \ Frac {2} {3}
D23
= \ Frac {3} {4}

Єгиптяни використовували також і інші форми запису, засновані на ієрогліфі Око Хору для подання спеціального набору дробів виду 1 / 2 k (для k = 1, 2, ..., 6), тобто, двоелементний раціональних чисел. Такі знаки використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат, основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Ця комбінована запис також використовувалася для вимірювання об'єму зерна, хліба і пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Очі Хору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, що дорівнює 1 / 320 хеката.

Наприклад, так:
D21
V1V1V1
V20V20
V20Z1
= \ Frac {1} {331}

При цьому "рот" містився перед усіма ієрогліфами.


1.2. Античність і Середньовіччя

Єгипетські дроби тривали використовуватися в древньої Греції і згодом математиками всього світу до середніх століть, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів порівняно з Вавилонської системою). Важливу роботу з дослідження єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі в своїй праці " Liber Abaci ".

Основна тема "Liber Abaci" - обчислення, використовують десяткові і звичайні дроби, витіснили з часом єгипетські знаки. Фібоначчі використовував складну запис дробів, що включала запис чисел зі змішаним підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські знаки. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів у єгипетські.


1.3. Алгоритм Фібоначчі

Перший дійшов до нас загальний метод розкладання довільній дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасній записи його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб \ Frac {m} {n} розкладається на 2 доданків:

\ Frac {m} {n} = \ frac {1} {\ lceil n / m \ rceil} + \ frac {(-n) \, \ bmod \, m} {n \ lceil n / m \ rceil}.

Тут \ Lceil n / m \ rceil - Частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а ~ (-N) \, \ bmod \, m - (Позитивний) залишок від ділення-n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетської дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідної дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає шукане розкладання. Приклад:

\ Frac {7} {15} = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {15} = \ frac {1} {3} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {120}

Однак отримане таким методом розкладання може виявитися не самим коротким. Приклад його невдалого застосування:

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

\ Frac {5} {121} = \ frac {1} {33} + \ frac {1} {121} + \ frac {1} {363}.

2. Сучасна теорія чисел

3. Відкриті проблеми

Література

  • Ван дер Варден. прокидається наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. Переклад з голландської Н. Веселовського. М.: Фізматгіз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Нейгебауер О. Лекції з історії античних математичних наук (догрецької математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
  • Нейгебауер О. Точні науки в давнину. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
  • РАІК А. Є. Нариси з історії математики в давнину. Саранськ, Мордовське держ. вид-во, 1977.
  • РАІК А. Е. До історії єгипетських дробів. Історико-математичні дослідження, 23, 1978, с. 181-191.
  • Яновська С. А. До теорії єгипетських дробів. Праці Інституту історії природознавства, 1, 1947, с. 269-282.
  • Beeckmans, L. (1993). "The splitting algorithm for Egyptian fractions". Journal of Number Theory 43: 173-185.
  • Botts, Truman (1967). " A chain reaction process in number theory ". Mathematics Magazine : 55-65.
  • Breusch, R. (1954). "A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512". American Mathematical Monthly 61: 200-201.
  • Bruins, Evert M. (1957). "Platon et la tabl gyptienne 2 / n". Janus 46: 253-263.
  • Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics, - Holt, Reinhard, and Winston, 1953. - ISBN 0-03-029558-0.
  • Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs - Dover, 1982. - ISBN ISBN 0-486-24315-X.
  • Graham, RL (1964). " On finite sums of reciprocals of distinct n th powers ". Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85-92.
  • Hultsch, Friedrich Die Elemente der gyptischen Theilungsrechnung - Leipzig: S. Hirzel, 1895.
  • Knorr, Wilbur R. (1982). "Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece". Historia Mathematica 9: 133-171.
  • Lneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergngen eines Mathematikers - Mannheim: BI Wissenschaftsverlag, 1993. - ISBN ISBN 3-411-15461-6.
  • Martin, G. (1999). "Dense Egyptian fractions". Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641-3657.
  • Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers - MIT Press, 1969. - ISBN ISBN 0-262-13040-8.
  • Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text - Dover, 1990. - ISBN ISBN 0-486-26407-6.
  • Stewart, BM (1954). "Sums of distinct divisors". American Journal of Mathematics 76: 779-785.
  • Stewart, I. (1992). "The riddle of the vanishing camel". Scientific American (June): 122-124.
  • Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics - Dover, 1967. - P. 20-25. - ISBN ISBN 0-486-60255-9.
  • Takenouchi, T. (1921). "On an indeterminate equation". Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78-92.
  • Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). "Length and denominators of Egyptian fractions". Journal of Number Theory 35: 150-156.
  • Vose, M. (1985). "Egyptian fractions". Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21.
  • Wagon, S. Mathematica in Action - WH Freeman, 1991. - P. 271-277.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Єгипетські піраміди
Єгипетські ворота
Єгипетські ієрогліфи (група А)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru