Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ідеал (алгебра)



План:


Введення

Ідеал - одне з основних понять абстрактної алгебри. Найбільше значення ідеали мають в теорії кілець, але також визначаються і для напівгруп, алгебр і деяких інших алгебраїчних структур. Назва "ідеал" веде своє походження від " ідеальних чисел ". Найпростішими прикладами ідеалів може служити подкольцо парних чисел в кільці цілих чисел. Ідеали дають зручний мову для узагальнення результатів теорії чисел на загальні кільця.

Наприклад, в кільцях замість простих чисел вивчаються прості ідеали, як узагальнення взаємно простих чисел вводяться взаємно прості ідеали, можна довести аналог китайської теореми про залишки для ідеалів.

У деякому важливому класі кілець (т.зв. дедекіндових) можна навіть отримати аналог основної теореми арифметики : у цих кільцях кожен ненульовий ідеал можна єдиним чином представити як добуток простих ідеалів.


1. Визначення

Для кільця R ідеалом називається подкольцо, замкнутий відносно множення на елементи з R . При цьому ідеал називається лівим (відповідно правим), якщо він замкнутий відносно множення зліва (відповідно праворуч) на елементи з R . Ідеал, який є одночасно лівим і правим, називається двостороннім. Двосторонній ідеал часто називається просто ідеалом. В комутативної випадку всі ці три поняття збігаються і завжди застосовується термін ідеал.

Більш точно: Ідеалом кільця R називається таке подкольцо I кільця R , Що

  1. \ Forall i \ in I \; \ forall r \ in R твір ir \ in I (Умова на праві ідеали);
  2. \ Forall i \ in I \; \ forall r \ in R твір ri \ in I (Умова на ліві ідеали).

Аналогічно для напівгрупи її ідеалом називається подполугруппа, для якої вірно яке-небудь із цих умов (або обидва для двостороннього ідеалу), те ж саме і для алгебри.


1.1. Зауваження

Для R -Алгебри A (Алгебри над кільцем R ) Ідеал кільця A може, взагалі кажучи, не бути ідеалом алгебри A , Так як це подкольцо необов'язково буде подалгеброй, то є ще й подмодулем над R . Наприклад, якщо A є k -Алгебра з нульовим множенням, то безліч всіх ідеалів кільця A збігається з безліччю всіх підгруп аддитивной групи A , А множина всіх ідеалів алгебри A збігається з безліччю всіх підпросторів векторного k -Простору A . Однак у випадку, коли A - Алгебра з одиницею, обидва ці поняття збігаються.


2. Пов'язані визначення

  • Для будь-якого кільця R саме R і нульовий ідеал 0 є ідеалами (двосторонніми). Такі ідеали називаються невласними або тривіальними. Інші ідеали I називаються власними.
  • Багато класів кілець і алгебр визначаються умовами на їх ідеал або грати ідеалів. Наприклад:
    • Кільце, що не має нетривіальних двосторонніх ідеалів, називається простим.
    • Кільце без власних односторонніх ідеалів є тілом., Артинова кільце, нетерово кільце.
  • З будь-яким комутативних кільцем з одиницею пов'язане топологічний простір S p e c A - спектр кільця, точками якого є всі прості ідеали кільця A , Відмінні від A , А замкнуті безлічі визначаються як множини простих ідеалів, що містять якесь безліч E елементів кільця A (Або, що те ж, ідеал I , Породжений цим множиною). Ця топологія називається топологією Зарисского.
  • Поняття ідеалу тісно пов'язано з поняттям модуля. Ідеал (правий або лівий) можна визначати як подмодуль кільця, розглянутого як правий чи лівий модуль над собою.

3. Властивості

  • Ліві ідеали в R є правими ідеалами в т.зв. протилежному кільці R 0 - Кільці з тими ж елементами і тим же складанням, що і дане, але з множенням певним a * b = b a , І навпаки.
  • Двосторонні ідеали в кільцях і алгебрах грають ту ж роль, що і нормальні підгрупи в групах :
  • У кільці \ Z цілих чисел всі ідеали головні і мають вигляд n \ Z = \ {nz | z \ in \ Z \} , Де n \ in \ N_0 .
  • Перетин ідеалів також є ідеалом (часто, особливо в комутативної алгебрі, перетин називається найменшим спільним кратним).

4. Типи ідеалів


5. Основні конструкції

  • Головні ідеали. Якщо p належить R, a k ​​будь-яке ціле число то \ {Pr + kp: \, r \ in R \, k \ in \ mathbb {Z} \} - Буде мінімальним правим ідеалом, містить p, а \ {Rp + kp: \, r \ in R \, k \ in \ mathbb {Z} \} - Мінімальним лівим ідеалом в R. Вони називаються, відповідно, головними правим і лівим ідеалом, породженими p. У комутативної випадку ці ідеали співпадають і позначаються також (p). Якщо кільце R містить одиничний елемент, то так як k p = (k * 1) p = p (k * 1) , Головні ідеали, породжені a можна записати pR = \ {pr: \, r \ in R \} і Rp = \ {rp: \, r \ in R \} відповідно. Усякий ідеал, що містить елемент p, містить і головний ідеал, їм породжений.
  • Ідеал, породжений безліччю елементів. Перетин довільного сімейства лівих ідеалів кільця R - лівий ідеал кільця R. Тому для всякого підмножини M кільця R існує мінімальний лівий ідеал, його містить, а саме - перетин всіх лівих ідеалів, що містять безліч M. (Те ж вірно для правих і двосторонніх ідеалів.) Для кільця R з одиничним елементом мінімальний лівий ідеал являє собою безліч кінцевих сум виду r 1 m 1 + ... + R n m n , Мінімальний правий ідеал - безліч кінцевих сум виду m 1 r 1 + ... + M n r n , Мінімальний двосторонній ідеал - безліч кінцевих сум виду r 1 m 1 r '1 + ... + R n m n r 'n , Де m i - довільні елементи множини M, а r i, r 'i - довільні елементи кільця R. Якщо кільце не містить одиниці то мінімальний лівий ідеал буде мати вигляд r 1 m 1 + ... + R n m n + k 1 m '1 + ... + K s m 's , Мінімальний правий m 1 r 1 + ... + M n r n + k 1 m '1 + k 2 m' 2 + ... + K s m 's , Мінімальний двосторонній r 1 m 1 r '1 + ... + R n m n r 'n + k 1 r''1 m' 1 + ... + K s r''s m 's + k' 1 m''1 r'''1 + ... + K 't m''t r''' t + k''1 m'''1... + K''w m''''w , Де всі k i (k 'i) - Будь-які цілі числа. Ці ідеали називаються породженими безліччю M. У комутативної випадку всі вони збігаються і позначаються так: (M). Ідеали, породжені кінцевим безліччю, називаються конечнопорожденнимі.
  • Сума ідеалів. Якщо в кільці R задано довільне сімейство ідеалів I α , Їх сумою \ Sum I_ {\ alpha} називається мінімальний ідеал, який їх всіх містить. Він породжений поєднанням цих ідеалів, і його елементами є будь-які кінцеві суми елементів з їх об'єднання. (Само об'єднання ідеалів зазвичай ідеалом не є.) Щодо суми усі (ліві, праві або двосторонні) ідеали кільця (або алгебри) утворюють решітку. Кожен ідеал є сумою головних ідеалів. Часто, особливо в комутативної алгебрі, сума називається найбільшим спільним дільником).


  • Твір ідеалів. Твором ідеалів I і J називається ідеал IJ, породжений усіма творами ab, де a - елемент ідеалу I, b - елемент ідеалу J. Нескінченне твір ідеалів визначено.
  • Приватне ідеалів. У комутативної кільці для ідеалу I, відмінного від нуля, і ідеалу J визначено їх приватне - ідеал I ^ {-1} J = \ {x \ in R \ colon \, \ forall i \ in I \, ix \ in J \} . Цей ідеал називається аннулятором ідеалу I у випадку, коли J = (0),.
  • Радикал ідеалу I - це безліч \ Sqrt {I} = \ {f \ in A: \, \ exist n \ in \ mathbb {N} \, \, f ^ n \ in {I} \} . Воно теж є ідеалом кільця A, якщо тільки кільце A коммутативно. У випадку, коли I = (0), цей ідеал називається нільрадікалом кільця A. Його елементами є всі нільпотентні елементи кільця. Якщо коммутативное кільце не має нільпотентні елементів, крім нуля, (має нульовий нільрадікал), - воно називається радикальним. Ідеал I називається радикальним, якщо він збігається зі своїм радикалом. У цьому випадку факторкольцо R / I не має нільпотентні елементів, крім нуля.
  • Індуктивний межа. Якщо задано сімейство (ланцюжок) ідеалів \ {I_ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in A} , Занумеровані лінійно впорядкованим безліччю A, так що для будь-яких індексів α <β з A ідеал I α міститься в ідеалі I β , Тоді їх об'єднання є ідеалом - індуктивним межею (Супремум) даної ланцюжка ідеалів. Цей ідеал також збігається з сумою всіх ідеалів з ланцюжка. Той факт, що індуктивний межа завжди існує, означає, що безліч усіх ідеалів кільця R індуктивно впорядковано, і до нього застосовна Лемма Цорна. Вона часто використовується для побудови максимальних ідеалів з якимись додатковими властивостями (див. максимальний ідеал, простий ідеал, кільце головних ідеалів).
  • Образ ідеалу при гомоморфізм. Зазвичай образ ідеалу при гомоморфізм НЕ є ідеалом, однак якщо гомоморфізм сюр'ектівен, то тоді є. Зокрема, так як гомоморфізм факторизації завжди сюр'ектівен, при факторизації кожен ідеал переходить в ідеал.
  • Прообраз ідеалу при гомоморфізм. Якщо f: \, A \ to B - гомоморфізм кілець, його ядро \ Operatorname {Ker} f = \ {a \ in A: \, f (a) = 0 \} є двостороннім ідеалом. Більш загально, якщо I - довільний ідеал в кільці B, його повний прообраз f ^ {-1} I = \ {a \ in A: \, f (a) \ in I \} є ідеалом (лівим, правим або двостороннім, залежно від того, який ідеал I).
  • Гомоморфізм факторизації за ідеалом. Якщо I - двосторонній ідеал в кільці R, по ньому можна визначити відношення еквівалентності на R за правилом: x ~ y тоді й тільки тоді, коли різниця xy належить I. Перевіряється, що якщо в сумі або творі один з операндів замінити на еквівалентний, новий результат буде еквівалентний вихідному. Таким чином операції додавання і множення стають певними на безлічі R / I класів еквівалентності, перетворюючи його в кільце (комутативність та наявність одиниці переносяться з кільця R, якщо вони є). Одночасно з цим кільцем визначено гомоморфізм факторизації (канонічний гомоморфізм) \ Pi: \, R \ to R / I , Який кожному елементу a з R ставить у відповідність клас еквівалентності, в якому він міститься. Клас еквівалентності елемента a є безліч елементів виду a + i по всіх i з ідеалу I, тому він позначається a + I, але іноді використовується і загальне позначення для класу еквівалентності [a]. Тому π (a) = [a] = a + I . Кільце R / I при цьому називається факторкольцом кільця R за ідеалом I.

6. Історія

Ідеали були вперше введені Дедекинда в 1876 ​​в третьому виданні його книги "Лекції з теорії чисел". Це було узагальненням концепції ідеальних чисел, введених Куммером.

Надалі ці ідеї розроблялися Гільбертом і особливо Нетер.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ідеал
Конечнопорожденний ідеал
Головний ідеал
Простий ідеал
Максимальний ідеал
Модулярної ідеал
Нільпотентні ідеал
Первинний ідеал
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru