Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ізогональное сполучення



План:


Введення

Точки P і P * ізогонально пов'язані
Перетворення над точками всередині трикутника

Ізогональное сполучення - геометричне перетворення.


1. Визначення

Точки P і Q називаються ізогонально сполученими (застарілі назви - ізогональнимі, зворотними [1]) (в трикутнику ABC), якщо \ Angle ABP = \ angle CBQ , \ Angle BAP = \ angle CAQ , \ Angle BCP = \ angle ACQ . Коректність даного визначення можна довести через теорему Чеви в синусної формі, існує і чисто геометричне доказ коректності цього визначення. Ізогональное сполучення - перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально сполучену їй. На всій площині за винятком прямих, що містять сторони трикутника, ізогональное сполучення є взаємно-однозначним відображенням.


2. Властивості ізогонального сполучення

  • Ізогональное пару залишає на місці тільки центри вписаною і вневпісанних кіл.
  • Точка, ізогонально сполучена точці на описаної окружності - нескінченно віддалена. Напрямок, що задається цією точкою, перпендикулярно прямий Сімсона вихідної точки.
  • Якщо точки P a , P b , P c симетричні точці P щодо сторін трикутника, то центр описаного кола P a P b P c ізогонально пов'язаний точці P .
  • Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально поєднані.
  • Проекції ізогонально сполучених точок на сторони лежать на одній окружності (вірно і зворотне).
  • Образ прямий при ізогональном сполученні - коника, описане навколо трикутника. Зокрема, ізогонально пов'язані нескінченно віддалена пряма і описана окружність, пряма Ейлера і гіпербола Енжабека, вісь Брокар і гіпербола Кіперта, лінія центрів вписаною і описаної окружності і гіпербола Фейєрбаха.
  • Якщо коника α ізогонально пов'язана прямий l , То трилинейная поляри всіх точок на α будуть проходити через точку, ізогонально сполучену трилинейная полюсу l .

3. Пари ізогонально сполучених точок


4. Координатна запис

В баріцентріческіх координатах ізогональное сполучення записується як (X: y: z) \ \ mapsto \ left (\ frac {a ^ 2} {x}: \ frac {b ^ 2} {y}: \ frac {c ^ 2} {z} \ right) \, , Де a , b , c - Довжини сторін трикутника. В трилинейная координатах його запис має форму (X: y: z) \ \ mapsto (\ frac {1} {x}: \ frac {1} {y}: \ frac {1} {z}) , Тому вони зручні при роботі з ізогональним сполученням. В інших координатах запис ізогонального сполучення більш громіздка.


5. Варіації і узагальнення

Аналогічно можна визначити ізогональное сполучення щодо багатокутника. Фокуси еліпсів, вписаних в багатокутник, також будуть ізогонально поєднані. Однак не для всіх точок ізогонально сполучена крапка буде визначена: так, в чотирикутнику геометричне місце точок, для яких ізогональное сполучення визначено, є деяка крива третього порядку; для п'ятикутника буде існувати лише одна пара ізогонально сполучених точок (фокуси єдиного вписаного в нього еліпса), а в багатокутниках з великим числом вершин в загальному випадку ізогонально сполучених точок не буде.

Можна визначити також ізогональное сполучення в тетраедра, в трилинейная координатах воно буде запісваться аналогічно плоскому ізогональному сполученню. [2]


6. Наслідки

Примітки

  1. Д. Єфремов. Нова геометрія трикутника. Одеса, 1902
  2. Ізогональное сполучення в тетраедра і його гранях - cor.edu.27.ru/catalog/res/9d9fe1df-4584-9398-0575-3b4680b74cea/view /

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сполучення
Зарядове сполучення
Міністерство шляхів сполучення
Імперське міністерство шляхів сполучення
Трамвайне сполучення Верхньої Сілезії
Московський державний університет шляхів сполучення
Петербурзький державний університет шляхів сполучення
Уральський державний університет шляхів сполучення
Народний комісаріат шляхів сполучення СРСР
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru