Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Імпульс



План:


Введення

Імпульс (Кількість руху) - векторна фізична величина, що характеризує міру механічного руху тіла. У класичній механіці імпульс тіла дорівнює добутку маси m цієї точки на її швидкість v, напрямок імпульсу збігається з напрямком вектора швидкості:

\ Vec p = m \ vec v .

У більш загальному вигляді, справедливому також і в релятивістській механіці, визначення має вигляд:

Імпульс - це адитивний інтеграл руху механічної системи, пов'язаний згідно теоремі Нетер з фундаментальної симетрією - однорідністю простору.


1. Історія появи терміна

Ще в першій половині XVII століття поняття імпульсу введено Рене Декартом. Так як фізичне поняття маси в той час було відсутнє, він визначив імпульс як твір "величини тіла на швидкість його руху". Пізніше таке визначення було уточнено Ісааком Ньютоном. Згідно Ньютону, "кількість руху є міра такого, встановлювана пропорційно швидкості і масі".

2. "Шкільне" визначення імпульсу

В класичної механіки повним імпульсом системи матеріальних точок називається векторна величина, що дорівнює сумі творів мас матеріальних точок на їх швидкості:

\ Vec p = \ sum_ {i} m_i \ vec {v} _i,

відповідно величина \ Vec p_i = m_i \ vec {v} _i називається імпульсом однієї матеріальної точки. Це векторна величина, спрямована в ту ж сторону, що і швидкість частинки. Одиницею виміру імпульсу в Міжнародній системі одиниць (СІ) є кілограм-метр за секунду (кг м / с)

Якщо ми маємо справу з тілом кінцевого розміру, для визначення його імпульсу необхідно розбити тіло на малі частини, які можна вважати матеріальними точками і підсумувати по них, в результаті отримаємо:

\ Vec p = \ int \ rho (x, y, z) \ vec {v} (x, y, z) dx dy dz

Імпульс системи, на яку не діють ніякі зовнішні сили (або вони скомпенсовані), зберігається у часі:

\ Frac {d \ vec p} {dt} = 0 . (*)

Збереження імпульсу в цьому випадку слід з другого і третього закону Ньютона : написавши другий закон Ньютона для кожної зі складових систему матеріальних точок і підсумувавши по всіх матеріальних точок, що становлять систему, в силу третього закону Ньютона отримаємо рівність (*).

В релятивістської механіки тривимірним імпульсом системи невзаємодіючих матеріальних точок називається величина

\ Vec p = \ sum_i \ frac {m_i \ vec v_i} {\ sqrt {1-v_i ^ 2 / c ^ 2}} ,

де m i - маса i-й матеріальної точки.


Для замкнутої системи не взаємодіючих матеріальних точок ця величина зберігається. Однак тривимірний імпульс не є релятивістськи інваріантна величина, тому що він залежить від системи відліку. Більш осмисленої величиною буде чотиривимірний імпульс, який для однієї матеріальної точки визначається як

p_ {\ mu} = (E / c, \ vec p) = \ left (\ frac {m_0 c} {\ sqrt {1-v_i ^ 2 / c ^ 2}}, \ frac {m_0 \ vec v} { \ sqrt {1-v_i ^ 2 / c ^ 2}} \ right).

На практиці часто застосовуються такі співвідношення між масою, імпульсом та енергією частинки:

E ^ 2 - \ mathbf {p} ^ 2c ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 ~~~~~~~~~~~~~~~~ \ mathbf {p} = \ frac {E} {c ^ 2 } \, \ mathbf {v}.

В принципі, для системи невзаємодіючих матеріальних точок їх 4-імпульси сумуються. Однак для взаємодіючих частинок в релятивістській механіці слід враховувати імпульси не тільки складають систему частинок, а й імпульс поля взаємодії між ними. Тому набагато більш осмисленою величиною в релятивістській механіці є тензор енергії-імпульсу, який повною мірою задовольняє законам збереження.


3. Узагальнений імпульс в теоретичній механіці

В теоретичної механіки узагальненим імпульсом називається приватна похідна лагранжіана системи за узагальненою швидкості

p_i = {{\ partial {\ mathcal L}} \ over {\ partial \ dot {q} _i}}.

У випадку, якщо лагранжіан системи не залежить від деякої узагальненої координати, то в силу рівнянь Лагранжа dp_i / dt = 0 \, \! .

Для вільної частинки функція Лагранжа має вигляд: \ Mathcal L =- mc ^ 2 \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} , Звідси:

\ Overrightarrow {p} = \ frac {m \ overrightarrow {v}} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}}

Незалежність лагранжіана замкнутої системи від її положення в просторі випливає з властивості однорідності простору : для добре ізольованої системи її поведінка не залежить від того, в яке місце простору ми її помістимо. За теоремі Нетер з цієї однорідності слід збереження деякої фізичної величини. Цю величину і називають імпульсом (звичайним, не узагальненим).


3.1. Узагальнений імпульс в електромагнітному полі

В електромагнітному полі повний імпульс частинки дорівнює:

\ Mathbf {p} = \ frac {m \ mathbf {v}} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}} + q \ mathbf A

де \ Mathbf A - векторний потенціал електромагнітного поля.

4. Формальне визначення імпульсу

Імпульсом називається зберігається фізична величина, пов'язана з однорідністю простору (інваріант щодо трансляцій).

5. Імпульс електромагнітного поля

Електромагнітне поле, як і будь-який інший матеріальний об'єкт, має імпульсом, який легко можна знайти, проінтегрувавши вектор Пойнтінга по обсягом :

\ Mathbf p = \ frac {1} {c ^ 2} \ int \ mathbf S dV = \ frac {1} {c ^ 2} \ int [\ mathbf E \ times \ mathbf H] dV (В системі СІ).

Існуванням імпульсу у електромагнітного поля пояснюється, наприклад, таке явище, як тиск електромагнітного випромінювання.


6. Імпульс в квантовій механіці

6.1. Формальне визначення

В квантової механіки оператором імпульсу частинки називають оператор - генератор групи трансляцій. Це Ерміта оператор, власні значення якого ототожнюються з імпульсом системи частинок. В координатному представленні для системи нерелятивістських частинок він має вигляд

\ Hat {\ mathbf {P}} = \ sum_j \ hat {\ mathbf {p}} _j = \ sum_j-i \ hbar \ nabla_j

де \ Nabla_j - оператор Набла, відповідний диференціювання за координатами j -Ої частки. Гамільтоніан системи виражається через оператор імпульсу:

\ Hat {H} = \ sum_i \ frac {1} {2m_i} \ hat {\ mathbf {p}} _i ^ 2 + U (\ mathbf {r_1}, \ dots)

Для замкнутої системи ( U = 0 ) Оператор імпульсу комутує з гамильтонианом і імпульс зберігається.


6.2. Визначення через хвилі де Бройля

Формула де Бройля пов'язує імпульс і довжину хвилі де Бройля.

Модуль імпульсу обернено пропорційний довжині хвилі λ :

p = \ frac h \ lambda

В векторному вигляді це записується як \ Vec p = \ frac h {2 \ pi} \ vec k = \ hbar \ vec k, де \ Vec k - хвильовий вектор, h - постійна Планка.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Імпульс сили
Електромагнітний імпульс
Кадровий імпульс, що гасить
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru