Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інверсія (геометрія)



План:


Введення

Інверсія (від лат. inversio - Звернення) щодо кола є перетворення евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одна з кіл поточечно переводиться в себе.


1. Визначення

Inversion illustration1.png

Нехай у евклідової площини задана деяка окружність Γ з центром O (Званим полюсом або центром інверсії, ця точка виколоти) і радіусом R . Інверсія точки P щодо Γ є точка P ' , Що лежить на промені O P така, що

| OP '| \ cdot | OP | = R ^ 2.

Інверсія переводить внутрішню область кола в зовнішню, і назад.

Часто до площини додають "нескінченно віддалену точку" \ Infty і вважають її інверсним чином O , А O - Інверсним чином \ Infty . У цьому випадку, інверсія є биективное перетворенням цієї розширеної "Кругової площині".

Аналогічно визначається інверсія евклідова простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах вищих розмірностей.


2. Властивості

Інверсія щодо об'єму Γ з центром O володіє наступними основними властивостями:

  • Інверсія є інволюцією : якщо точка P переходить в точку Q, то і точка Q переходить в точку P.
  • Пряма, через O, переходить в себе.
  • Пряма, не проходить через O, переходить в коло, що проходить через O з виколоти точкою O; і назад, коло, що проходить через O, переходить в пряму, не проходить через O.
  • Коло, не проходить через O, переходить в коло, не проходить через O (при цьому образ її центру не є центром образу).
  • Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
  • Окружність або пряма, перпендикулярна до Γ , Переходить в себе.

3. Координатні подання

3.1. Декартові координати

Інверсія щодо одиничної окружності з центром на початку координат задається співвідношенням

(X, y) \ mapsto \ left (\ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right) .

Якщо точку площині задати однієї комплексної координатою z = x + i y , То цей вираз можна представити у вигляді

z \ mapsto (\ bar z) ^ {-1} ,

де \ Bar z - комплексно поєднане число для z . Дана функція комплексного змінного є голоморфних, звідки, зокрема, слід конформність інверсії.

У загальному випадку, інверсія щодо кола з центром в точці O = (x 0, y 0) і радіусом r задається співвідношенням

(X, y) \ mapsto \ left (x_0 + \ frac {r ^ 2 (x-x_0)} {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2}, y_0 + \ frac {r ^ 2 (y -y_0)} {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2} \ right) .

3.2. Полярні координати

Інверсія щодо кола радіуса r з центром в початку координат задається співвідношенням

(\ Phi, \ rho) \ mapsto (\ phi, r ^ 2 / \ rho) .

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Інверсія
Інверсія (метеорологія)
Інверсія електронних населенностей
Геометрія
Тіло (геометрія)
Обчислювальна геометрія
Сакральна геометрія
Градус (геометрія)
Фінслерових геометрія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru