Індикатриса Дюпена або індикатриса кривизни - плоска крива, яка дає наочне уявлення про викривленій поверхні в даній її точці.


1. Визначення та властивості

Індикатриса Дюпена лежить в площині, дотичній до поверхні S в точці p , І є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки p в напрямку u в дотичній площині і мають довжину, рівну 1 / \ sqrt {\ kappa_u} , Де \ Kappa_u - Абсолютна величина нормальної кривизни поверхні S в точці p в напрямку u . Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд

| II_p (v) | = 1,

де v - Вектор дотичної площини, a II_p - друга фундаментальна форма поверхні S , В точці p .

Індикатриса Дюпена являє собою:

  • еліпс, якщо p - Еліптична крапка поверхні, тобто гауссова кривизна позитивна.
  • пару сполучених гіпербол, якщо p - Гіперболічна точка поверхні, тобто гауссова кривизна негативна;
  • пару паралельних прямих, якщо p - Параболічна точка поверхні, тобто гауссова кривизна дорівнює нулю, але середня кривизна не дорівнює нулю.

2. Історія

Індикатриса Дюпена названа по імені Дюпена (фр.), що вперше застосував цю криву до дослідження поверхонь (1813).

Література

  • Рашевський П. До Курс диференціальної геометрії, - Будь-яке видання.
  • Фініков С. П. Курс диференціальної геометрії, - Будь-яке видання.
  • Фініков С. П. Теорія поверхонь, - Будь-яке видання.