Інтеграли руху

В механіці функція I = I (q, \ dot q), де q - узагальнені координати, \ Dot q - Узагальнені швидкості системи, називається інтегралом руху (даної системи), якщо I (q, \ dot q) = \ mathrm {const} на кожній траєкторії q (t) \, даної системи, але функція I (q, \ dot q) не є тотожно постійною.

Інтеграли руху, що володіють адитивний або асимптотичної адитивності, називаються законами збереження.



1. Застосування

Інтеграли руху корисні тому, що деякі властивості цього руху можна дізнатися навіть без інтегрування рівнянь руху. У найбільш успішних випадках траєкторії руху являють собою перетин ізоповерхностей відповідних інтегралів руху. Наприклад, побудова Пуансо показує, що без крутного моменту обертання твердого тіла являє собою перетин сфери (збереження повного кутового моменту) і еліпсоїда (збереження енергії) - траєкторію, яку важко вивести і візуалізувати. Тому знаходження інтегралів руху - важлива мета в механіці.


2. Методи знаходження інтегралів руху

Існує кілька методів знаходження інтегралів руху:

  • Найбільш простий, але і найменш строгий метод полягає в інтуїтивному підході, часто заснованому на експериментальних даних і подальшого математичного доказу збереження величини.
  • Величина A зберігається якщо вона не залежить явним чином від часу і її дужки Пуассона з гамільтоніаном системи дорівнюють нулю
\ Frac {dA} {dt} = \ frac {\ partial A} {\ partial t} + [A, H] = 0

Інший корисний результат відомий як теорема Пуассона, в якій стверджується, що якщо є два інтеграли руху A і B то дужки Пуассона [A, B] цих двох величин теж є інтегралом руху.

Система з n ступенями свободи і n інтегралами руху, такими, що дужки Пуассона будь-якої пари інтегралів дорівнюють нулю відома як повністю інтегрована система. Такий набір інтегралів руху, як кажуть, перебуває в інволюції один з одним.


3. У гідродинаміці

При вільному (без зовнішніх сил) русі ідеальної (немає дисипації, в'язкість відсутня) нестисливої ​​(обсяг будь-якої частини зберігається) рідини зберігаються такі величини:

Якщо рух двумерно, то зберігається також енстрофія \ Int_ {S} \ left (\ nabla \ times \ vec {v} \ right) ^ {2} dS .

В ідеальній магнітній гідродинаміці перший інтеграл (повна енергія, як сума кінетичної енергії рідини та енергії магнітного поля) зберігається, другий (гідродинамічна спіральність) пропадає, але з'являється два інших інтеграла руху:


4. У квантовій механіці

Спостережувана величина Q зберігається, якщо вона комутує з гамільтоніаном H, який не залежить явним чином від часу. Тому

\ Frac {d} {dt} \ langle \ psi | \ hat {Q} | \ psi \ rangle = \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ psi | \ left [\ hat {\ mathcal H}, \ hat {Q} \ right] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ frac {\ partial \ hat {Q}} {\ partial t} | \ psi \ rangle \,

де використовується комутаційне співвідношення

[\ Hat {\ mathcal H}, \ hat {Q}] = \ hat {\ mathcal H} \ hat {Q} - \ hat {Q} \ hat {\ mathcal H} .

4.1. Висновок

Нехай є деяка спостережувана Q, яка залежить від координати, імпульсу і часу

Q = Q (x, p, t) \,

а також є хвильова функція, яка є рішенням відповідного рівняння Шредінгера

i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} = \ hat {\ mathcal H} \ psi. \,

Для обчислення похідної за часом від середнього значення спостережуваної Q використовується правило диференціювання твори, і результат після деяких маніпуляцій наведено нижче

\ Frac {d} {dt} \ langle Q \ rangle \, = \ frac {d} {dt} \ langle \ psi | \ hat {Q} | \ psi \ rangle \, =
= \ Langle \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} | \ hat {Q} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ frac {\ partial \ hat {Q}} {\ partial t} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ hat {Q} | \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} \ rangle \, =
= \ Frac {i} {\ hbar} \ langle \ hat {\ mathcal H} \ psi | \ hat {Q} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ frac {\ partial \ hat {Q}} { \ partial t} | \ psi \ rangle - \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ psi | \ hat {Q} | \ hat {\ mathcal H} \ psi \ rangle \, =
= \ Frac {i} {\ hbar} \ langle \ psi | \ hat {\ mathcal H} \ hat {Q} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ frac {\ partial \ hat {Q}} { \ partial t} | \ psi \ rangle - \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ psi | \ hat {Q} \ hat {\ mathcal H} | \ psi \ rangle \, =
= \ Frac {i} {\ hbar} \ langle \ psi | \ left [\ hat {\ mathcal H}, \ hat {Q} \ right] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | \ frac {\ partial \ hat {Q}} {\ partial t} | \ psi \ rangle \, =

В результаті отримаємо

\ Frac {d} {dt} \ hat {Q} = \ frac {i} {\ hbar} \ left [\ hat {\ mathcal H}, \ hat {Q} \ right] + \ frac {\ partial \ hat {Q}} {\ partial t} \,

5. Ставлення до квантовому хаосу і квантової интегрируемости

У класичній механіці є теорема Ліувілля, згідно з якою система, в якій число інтегралів руху в інволюції збігається з числом ступенів свободи n , Може бути повністю проінтегрувати (вирішена) методом розділення змінних в рівнянні Гамільтона-Якобі. Така система є інтегрованою системою. Траєкторія такої системи в 2n -Мірному фазовому просторі може бути представлена ​​в підходящих змінних (змінних дія-кут) як намотування на n -Мірному торі. Система, число інтегралів в якій менше числа ступенів свободи, проявляє хаотична поведінка, тобто траєкторії у фазовому просторі з близькими початковими умовами можуть експоненціально розходитися. При невеликій деформації интегрируемой системи в неінтегріруемую n -Мірний тор в 2n -Мірному фазовому просторі руйнується ("розмивається"), перетворюючись, наприклад в дивний аттрактор.

Квантовий аналог теореми Ліувілля невідомий, однак і в квантовому випадку системи можна розділити на інтегровані і неінтегріруемие. Під інтегровною в цьому випадку мають на увазі системи, які допускають точне рішення, в сенсі можливості знайти всі власні значення і власні функції гамільтоніана в розумному вигляді. Відомий квантовий аналог методу розділення змінних, однак його застосування не настільки універсально в класичних випадках. Відомі приклади показують, що в квантових інтегровних системах, також як і в класичних, мається n інтегралів руху, комутуючих між собою. Однак наявність n інтегралів руху, мабуть, ще не гарантує квантової интегрируемости. Завдання квантування систем, що інтегруються являє собою пошук такої квантової системи, яка допускала б точне рішення і давала б дану класичну систему в класичному межі. Є також приклади інтегрованих квантових систем, що не мають інтегровні класичних аналогів. Це відбувається в тому випадку, якщо система може бути вирішена при спеціальних значеннях параметрів квантового гамільтоніана, або коли система не допускає класичного опису (як, наприклад, система спинів).

Всі інші квантові системи проявляють в тій чи іншій мірі ознаки квантового хаосу. Класичні хаотичні системи допускають квантування в тому сенсі, що може бути коректно визначено їх простір станів і гамільтоніан, проте як і класичні хаотичні системи, так і квантові, мабуть, не допускають точного рішення. Їх можна досліджувати наближеними методами, такими як теорія збурень і варіаційний метод, а також досліджені чисельно методами молекулярної динаміки в класичному випадку або чисельної діагоналізації гамільтоніана в квантовому випадку.


Література