Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інтегральне перетворення Абеля



Інтегральне перетворення Абеля - перетворення, часто використовуване при аналізі сферично або циліндрично симетричних функцій. Названо на честь норвезького математика Н. Х. Абеля. Для функції f (r) перетворення Абеля дається рівнянням:

F (y) = 2 \ int \ limits_y ^ \ infty \ frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}}.

Якщо функція f (r) спадає з r швидше ніж 1 / r , То можна обчислити зворотне перетворення Абеля:

f (r) = - \ frac {1} {\ pi} \ int \ limits_r ^ \ infty \ frac {dF} {dy} \, \ frac {dy} {\ sqrt {y ^ 2-r ^ 2}} .

В обробці зображень перетворення Абеля використовується для того, щоб отримати проекцію симетричною, оптично тонкої функції випускання на площину. Зворотне перетворення використовується для відновлення функції по її проекції (напр. фотографії).

Геометрична інтерпретація перетворення Абеля в двовимірному випадку. Спостерігач (I) дивиться уздовж лінії, паралельної осі \ Scriptstyle {x} на відстані \ Scriptstyle {y} від центру. Спостерігач бачить проекцію (інтеграл) осе-симетричної функції \ Scriptstyle {f (r)} уздовж напряму спостереження. Функція \ Scriptstyle {f (r)} зображена за допомогою сірого кольору. Передбачається, що спостерігач перебуває так далеко від центру, що межі інтегрування дорівнюють \ Scriptstyle {\ pm \ infty} .

Геометрична інтерпретація

Перетворення Абеля в двовимірному випадку F (y) може розглядатися як проекція осесиметричної функції f (r) уздовж паралельних ліній, що проходять на відстані y від осі. Згідно малюнку праворуч, спостерігач (I) побачить величину

F (y) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (r) \, dx,

де f (r) - Осесиметрична функція, зображена на малюнку за допомогою сірого кольору. Передбачається, що спостерігач перебуває при x = \ infty і таким чином межі інтегрування дорівнюють \ Pm \ infty . Всі лінії спостереження паралельні осі x .

Зауважуючи, що радіус r співвідноситься з x і y як r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 , Отримуємо, що

dx = \ frac {r \, dr} {\ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}}.

Так як змінна r при інтегруванні не змінює знака, то подинтегрального вирази (як f (r) , Так і вираз для dx ) Є парною функцією. Тому можна записати:

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (r) \, dx = 2 \ int \ limits_0 ^ \ infty f (r) \, dx.

Заміна змінної x на r дає формулу перетворення Абеля:

F (y) = 2 \ int \ limits_y ^ \ infty \ frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}}.

Перетворення Абеля можна узагальнити на випадок більшого числа вимірів. Особливо цікавий випадок трьох вимірів. У разі осесиметричної функції f (\ rho, \; z) , Де \ Rho ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 є радіусом в циліндричних координатах, можна спроектувати функцію на площину, паралельну осі z . Без втрати спільності можна взяти площину, паралельну площині yz . При цьому:

F (y, \; z) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (\ rho, \; z) \, dx = \ int \ limits_y ^ \ infty \ frac {f (\ rho, \ ; z) \ rho \, d \ rho} {\ sqrt {\ rho ^ 2-y ^ 2}},

що є перетворенням Абеля для f (\ rho;, \; z) в змінних \ Rho і y .

Окремим випадком осьової симетрії є сферична симетрія. У цьому випадку є функція f (r) , Де r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 .

Проекція на площину yz буде мати кругову симетрію, яку можна записати як F (s) , Де s ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 . Виробляючи інтегрування, отримаємо:

F (s) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (r) \, dx = \ int \ limits_s ^ \ infty \ frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ 2-s ^ 2}},

що знову є перетворенням Абеля для f (r) в змінних r і s .


Зв'язок з іншими перетвореннями

Перетворення Абеля є членом так званого циклу Фур'є - Хенкеля - Абеля. Наприклад для випадку двох вимірів, якщо позначити через A перетворення Абеля, F - перетворення Фур'є і через H - перетворення Хенкеля нульового порядку, то для функцій з круговою симетрією буде виконуватися рівність:

FA = H,

тобто якщо застосувати до одномірної функції спочатку перетворення Абеля, а потім перетворення Фур'є, то результат буде той же, як після застосування до функції перетворення Хенкеля.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дискретне перетворення Абеля
Інтегральне числення
Інтегральне рівняння
Ознака Абеля
Теорема Абеля - Руффіні
Інтегральне рівняння Фредгольма
Z-перетворення
Дуальне перетворення
Перетворення Мебіуса
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru