Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інтегральне числення



Інтегральне числення - розділ математичного аналізу, в якому вивчаються поняття інтеграла, його властивості та методи обчислень.

Довжини, площі та обсяги

Чорт. 1.
Чорт. 2.

У творі Архімеда "Про вимір довжини кола" розглядається питання про визначення площі та довжини окружності кола, а в трактаті "Про кулі і циліндрі" - про поверхнях і обсягах тіл, обмежених кривими поверхнями; ці питання представляють перші геометричні задачі, пов'язані з І. обчисленню. І в даний час основним завданням І. числення є знаходження площ криволінійних фігур. Під площею криволінійної фігури S (рис. 1) зрозуміло межа, до якої прагне площа вписаного у фігуру багатокутника в міру збільшення числа його сторін, причому ці сторони можуть бути зроблені менше всякого заздалегідь заданого довільно малого числа.

Основна ідея обчислення площі довільних геометричних фігур полягає в наступному. Для початку, як порахувати площу прямокутника, тобто як довести, що його площа - це твір довжини на ширину. Якщо мова йде про геометрію, де всі побудови потрібно робити за допомогою циркуля і лінійки, то в такої геометрії, відношення довжини до ширини є число раціональне (див. Підручник Погорєлова), тобто якщо довжину прийняти за одиницю, то ширина може бути виражена в Як дробу m / n, де m і n натуральні числа. Для такого прямокутника можна підібрати такий "одиничний квадратик", який повністю покриє такий прямокутник. Сторону "одиничний квадратик" можна підібрати як d = НСД (m, n), де d натуральне число. Наприклад, якщо ми маємо прямокутник довжиною 10 см і шириною 14 см, то такий прямокутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки (якщо довжину прийняти за одиниці, його ширина буде 14/10 = 7 / 5). В якості сторони "одиничного квадратика "можна взяти d = НСД (14,10) = 2 см. Цей квадратик увійде 5 разів в довжину і 7 в ширину, всього потрібно 5 * 7 = 35 таких" одиничних квадратиків ". Можна взяти квадрати зі стороною 1 см. Цей квадратик увійде 10 разів у довжину і 14 завширшки, все потрібно 10 * 14 = 140 таких "одиничних квадратиків". З цієї побудови видно, що розмірність (див.) не грає ніякої суттєвої ролі при такій побудові.

Площа прямокутного трикутника можна порахувати якщо зауважити, що якщо відкласти точно такий самий трикутник поруч, то вийде прямокутник. Так як ми подвоїли площа трикутника, то площа трикутника є половиною площі прямокутника. Площа паралелограма визначається аналогічним, трохи складнішим чином, через площі прямокутника і трикутника. Площа багатокутників визначається за допомогою площі трикутників.

Як визначити площу довільної кривої? Наприклад, кривий, що є безперервною функцією обмежена прямими x = a і x = b?

Геометричний сенс інтеграла Рімана

Якщо спробувати розбити такі фігури на "одиничні квадратики", то будуть залишатися незаповнені "дірки" (як і у випадку прямокутників зі сторонами ставлення, яких не дорівнює раціональному числу). У такому випадку намагаються зробити два покриття: прямокутниками "зверху" і "знизу", тобто побудувати прямокутники таким чином, щоб вони включали графік функції або не включали. Тут важливим є яким саме чином ми будемо розбивати на прямокутники (див. нижче). Другий момент полягає в тому, що якщо ми будемо брати розбиття все дрібніше і дрібніше, то площа покриття "зверху" і площа покриття "знизу" повинні сходиться і сходиться до якогось кінцевого значення. Третій момент полягає в тому, що площа покриття "зверху" і площа покриття "знизу" повинні сходиться до одного й того ж числа.

Повернемося до способу розбиття на прямокутники. Існує як мінімум два поширені способи.

Ріман формалізував поняття інтеграла, розроблене Ньютоном і Лейбніцем, як площі подграфіка (фігури, укладеної між графіком функції і віссю абсцис). Для цього він розглянув фігури, що складаються з декількох вертикальних прямокутників і виходять при розбитті відрізка (див. малюнок). Якщо при "роздрібненні" розбиття існує межа, до якої сходяться площі таких фігур (інтегральні суми), ця межа називається інтегралом Рімана функції на відрізку. Див. докладніше Інтеграл Рімана.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення подинтегральной функції на частини та складання потім інтегральної суми зі значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім підсумовують з відповідними вагами заходи прообразів цих інтервалів.

Повернемося до визначення інтеграла за Ріманом.

Зазначена завдання вирішується за допомогою інтегрального числення, якщо криволінійний контур фігури S задано рівнянням, як це робиться в аналітичній геометрії (див. Аналітична геометрія та Диференціальне числення). Нехай рівняння заданої кривої S (рис. 2) є y = f (x).

Визначимо площу P 0 M 0 M n P n , Утворену відрізком осі x-в P 0 P n , Двома ординатами M 0 P 0 і M n P n і дугою M 0 M n кривої S. Ясно, що знаходження площі всякої криволінійної фігури може бути зведене до знаходження площ такого виду (тобто обмеженим трьома прямими і дугою кривої). Проведемо між крайніми ординатами M 0 P 0 і M n P n n-1 ординат M 1 P 1 , M 2 P 2 ..., Відповідних точкам розподілу P 1 , P 2 ... Відрізка осі P 0 P n . Ці точки виберемо довільно, з тим лише обмеженням, щоб у міру збільшення числа n найбільший з відрізків був нескінченно малий (напр. точки P 1, P 2 ... Можна вибрати на рівних відстанях один від одного). Припускаючи, як це має місце на рис. 2, що ординати кривої у весь час при переході від M 0 до M n зростають, то зрозуміло, що криволінійна площа фігури S буде укладатися між наступними двома сумами:

S n = f (x 0) (x 1 - x 0) + f (x 1) (x 2 - x 1) + ... + F (x n - 1) (x n - x n - 1)

і S 'n = f (x 1) (x 1 - x 0) + f (x 2) (x 2 - x 1) + ... + F (x n) (x n - x n - 1)

де x о = ОР o, х 1 = ОР 1, x 2 = ОР 2... .. x n = ОР n

a f (x o) = M o P o, f (x 1) = М 1 Р 1, f (x 2) = М 2 P 2... .... f (х n) = М n Р n.


Історичний нарис

Історичний нарис розвитку інтегрального числення див Математичний аналіз.

Література

При написанні цієї статті використовувався матеріал з Енциклопедичного словника Брокгауза і Ефрона (1890-1907).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Інтегральне рівняння
Інтегральне рівняння Фредгольма
Інтегральне перетворення Абеля
Варіаційне числення
Операційне числення
Лямбда-числення
Реляційне числення
Лямбда-числення
Система числення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru