Інтегральний логарифм - спеціальна функція, визначувана інтегралом

\ Mathrm {li} \, (x) = \ int \ limits_0 ^ x \ frac {dt} {\ ln t}.

Для усунення сингулярності при x = 1 іноді застосовується зрушений інтегральний логарифм:

\ Mathrm {Li} \, (x) = \ int \ limits_2 ^ x \ frac {dt} {\ ln t}.

Це дві функції пов'язані співвідношенням:

\ Mathrm {Li} \, (x) - \ mathrm {li} \, (x) = \ mathrm {li} \, (2) \ approx 1 {,} 045 ~ 163 ~ 780 ~ 117 ~ 492 \ ldots

Інтегральний логарифм введений Леонардом Ейлером в 1768 році.

Інтегральний логарифм і інтегральна показова функція пов'язані співвідношенням:

\ Mathrm {li} \, (x) = \ mathrm {Ei} \, (\ ln x).

Інтегральний логарифм має єдиний позитивний нуль в точці \ Mu \ approx 1 {,} 451 ~ 369 ~ 234 ~ 883 ~ 381 ~ 050 ~ 283 ~ 968 ~ 485 ~ 892 ~ 027 ~ 449 ~ 493 \ ldots (Число Рамануджана - Солднера).


Розкладання в ряд

З тотожності, що зв'язує \ Mathrm {li} \, (x) і \ Mathrm {Ei} (\ ln x) слід ряд:

\ Mathrm {li} \, (x) = \ mathrm {Ei} \, (\ ln x) = \ gamma + \ ln \ ln x + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(\ ln x) ^ n} {n \ cdot n!},

де \ Gamma \ approx 0 {,} 577 ~ 215 ~ 664 ~ 901 ~ 532 \ ldots - постійна Ейлера - Маскероні.

Швидше сходиться ряд, виведений Срініваса Рамануджаном :

\ Mathrm {li} \, (x) = \ gamma + \ ln \ ln x + \ sqrt {x} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n-1} (\ ln x ) ^ n} {2 ^ {n-1} n!} \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} \ frac {1} {2k +1}.

Інтегральний логарифм і розподіл простих чисел

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у дослідженні розподілу простих чисел. Він являє собою набагато краще наближення до числа простих чисел, не переважаючих заданого числа, ніж x / \ ln {x} :

\ Pi (x) \ sim \ mathrm {Li} \, (x).

Для не дуже великих x\ Pi (x) <\ mathrm {Li} \, (x) , Проте доведено, що при деякому достатньо великому x нерівність змінює знак. Це число називається числом Скьюза і в даний час для цього числа знайдена оцінка зверху e ^ {e ^ {27/4}} .


Література

  • Математичний енциклопедичний словник. - М ., 1995. - С. 238.