Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інтегральні перетворення



План:


Введення

Одним з найбільш потужних засобів вирішення диференціальних рівнянь, як звичайних, так, особливо, в приватних похідних, є метод інтегральних перетворень. Перетворення Фур'є, Лапласа, Ганкеля та інші застосовуються для вирішення завдань теорії пружності, теплопровідності, електродинаміки та інших розділів математичної фізики. Використання інтегральних перетворень дозволяє звести диференціальне, інтегральне або інтегро-диференціальне рівняння до алгебраическому, а також, у разі диференціального рівняння в приватних похідних, зменшити розмірність.

Інтегральні перетворення задаються формулою

Tf (u) = \ int \ limits_ {S} K (t, u) \, f (t) \, dt ,

де функції ~ F, Tf називаються оригіналом і зображенням відповідно, і є елементами деякого функціонального простору ~ L , При цьому функція ~ K називається ядром інтегрального перетворення.

Більшість інтегральних перетворень є оборотними, тобто за відомим зображенню можна відновити оригінал, часто також інтегральним перетворенням:

f (t) = \ int \ limits_ {S '} K ^ {-1} (u, t) \, (Tf (u)) \, du.

Хоча властивості інтегральних перетворень достатньо обширні, у них досить багато спільного. Наприклад, кожне інтегральне перетворення є лінійним оператором.


1. Таблиця перетворень (одновимірний випадок)

Якщо інтегральне перетворення і його звернення задані формулами

Tf (u) = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} K (t, u) \, f (t) \, dt ,
f (t) = \ int \ limits_ {u_1} ^ {u_2} K ^ {-1} (u, t) \, (Tf (u)) \, du ,

то:

Таблиця інтегральних перетворень (одновимірний випадок)
Перетворення Позначення K t 1 t 2 K ^ {-1} u 1 u 2
Перетворення Фур'є \ Mathcal {F}\ Frac {e ^ {-iut}} {\ sqrt {2 \ pi}}- \ Infty \,\ Infty \,\ Frac {e ^ {+ iut}} {\ sqrt {2 \ pi}}- \ Infty \,\ Infty \,
Синус-перетворення Фур'є (Англ.) рос. \ Mathcal {F} _s\ Frac {\ sqrt {2} \ sin {(ut)}} {\ sqrt {\ pi}}0 \,\ Infty \,\ Frac {\ sqrt {2} \ sin {(ut)}} {\ sqrt {\ pi}}0 \,\ Infty \,
Косинус-перетворення Фур'є (Англ.) рос. \ Mathcal {F} _c\ Frac {\ sqrt {2} \ cos {(ut)}} {\ sqrt {\ pi}}0 \,\ Infty \,\ Frac {\ sqrt {2} \ cos {(ut)}} {\ sqrt {\ pi}}0 \,\ Infty \,
Перетворення Хартлі (Англ.) рос. \ Mathcal {H}\ Frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}- \ Infty \,\ Infty \,\ Frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}- \ Infty \,\ Infty \,
Перетворення Мелліна (Англ.) рос. \ Mathcal {M}t ^ {u-1} \,0 \,\ Infty \,\ Frac {t ^ {-u}} {2 \ pi i} \,c \! - \! i \ inftyc \! + \! i \ infty
Двостороннє перетворення Лапласа (Англ.) рос. \ Mathcal {B}e ^ {-ut} \,- \ Infty \,\ Infty \,\ Frac {e ^ {+ ut}} {2 \ pi i}c \! - \! i \ inftyc \! + \! i \ infty
Перетворення Лапласа \ Mathcal {L}e ^ {-ut} \,0 \,\ Infty \,\ Frac {e ^ {+ ut}} {2 \ pi i}c \! - \! i \ inftyc \! + \! i \ infty
Перетворення Вейерштрасса (Англ.) рос. \ Mathcal {W}\ Frac {e ^ {- (u-t) ^ 2/4}} {\ sqrt {4 \ pi}} \,- \ Infty \,\ Infty \,\ Frac {e ^ {+ (u-t) ^ 2/4}} {i \ sqrt {4 \ pi}}c \! - \! i \ inftyc \! + \! i \ infty
Перетворення Ханкеля t \, J_ \ nu (ut)0 \,\ Infty \,u \, J_ \ nu (ut)0 \,\ Infty \,
Інтегральне перетворення Абеля \ Frac {2t} {\ sqrt {t ^ 2-u ^ 2}}u \,\ Infty \,\ Frac {-1} {\ pi \ sqrt {u ^ 2 \! - \! T ^ 2}} \ frac {d} {du}t \,\ Infty \,
Перетворення Гільберта \ Mathcal {H} il\ Frac {1} {\ pi} \ frac {1} {u-t}- \ Infty \,\ Infty \,\ Frac {1} {\ pi} \ frac {1} {u-t}- \ Infty \,\ Infty \,
Ядро Пуассона (Англ.) рос. \ Frac {1-r ^ 2} {1-2r \ cos \ theta + r ^ 2}0 \,2 \ pi \,
Ідентичне перетворення \ Delta (u-t) \,t_1 <u \,t_2> u \,\ Delta (t-u) \,u_1 \! <\! tu_2 \!> \! t

2. Список інтегральних перетворень


Література

  • Діткин В. А., Прудников А. П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М, Фізматгіз, 1961

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Z-перетворення
Схема перетворення
Перетворення Мебіуса
Перетворення Гільберта
Дуальне перетворення
Вейвлет-перетворення
Перетворення Радона
Канонічне перетворення
Білінійної перетворення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru