Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інтервал (теорія відносності)



План:


Введення

Інтервал в теорії відносності - відстань між двома подіями в просторі-часі, що є узагальненням евклідової відстані між двома точками. Інтервал Лоренц-інваріантний, тобто не змінюється при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, і, навіть більше, є інваріантом ( скаляром) в спеціальної та загальної теорії відносності.

Це властивість інтервалу робить його фундаментальним поняттям, на основі якого може, відповідно до принципом відносності, бути здійснена коваріантна формулювання фізичних законів. Зокрема, перетворення Лоренца (перетворення координат, включаючи час, залишають незмінною запис всіх фундаментальних рівнянь фізики при заміні системи відліку) можуть бути формально знайдені як група перетворень, які зберігали інтервал інваріантним.

Інваріантність інтервалу послужила основою для введення простору Мінковського, в якому зміні інерційних систем відліку відповідають "обертання" цього простору, що стало першою явною формулюванням концепції простору-часу.


1. Визначення

Квадрат інтервалу - це симетрична билинейная форма на конфігураційному 4-мірному різноманітті простору-часу. При належним чином обраних координатах (галілеєвих - локально інерціальна система відліку з декартовими просторовими координатами ~ X, y, z і часом ~ T ) Для нескінченно малого зміщення в просторі-часі він має вигляд:

~ Ds ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 - dx ^ 2-dy ^ 2-dz ^ 2

(Локально псевдоевклидовой простір-час, простір Маньківського в головному порядку, інакше кажучи - різноманіття з індефінітной псевдорімановой метрикою сигнатури (+---)).

У разі плоского простору-часу - тобто простору часу без кривизни, до якого в сучасній фізиці відноситься випадок відсутності (або пренебрежимо малість) гравітації - таке ж вираз має місце і для кінцевих різниць координат:

~ S ^ 2 = c ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 - (\ Delta x) ^ 2 - (\ Delta y) ^ 2 - (\ Delta z) ^ 2

(Такий простір вже точно і глобально є простором Мінковського, якщо, звичайно, топологічно воно еквівалентно \ Mathbb R ^ 4 у своїй природній топології).

Зазвичай інтервал позначається латинською буквою ~ S .

В загальної теорії відносності використовується узагальнене поняття інтервалу, що дає природне узагальнення відстані між двома точками. Вводиться метричний тензор g i k , Від якого вимагається лише симетричність і невиродженого. Вираз для квадрата інтервалу між двома нескінченно близькими точками набуває вигляду:

\! ds ^ 2 = g_ {ij} dx ^ i dx ^ j, ~ ~ i, j = 0 \ dots 3, ~ ~ x ^ 0 = ct, x ^ 1 = x, x ^ 2 = y, x ^ 3 = z ,

де d x i - Диференціали координат, і по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування, тобто це вираз означає

\ Sum_ {i, \ j = 0} ^ 3 g_ {i j} dx ^ i dx ^ j .

Звернемо увагу, що таким чином певна метрика не буде позитивно певної квадратичної формою, як зазвичай потрібно в разі власне ріманових многовидів. Навпаки, мається на увазі, що завжди або майже завжди локально можуть бути так обрані просторово-часові координати ~ T, x, y, z (Система відліку), що інтервал для малої області простору-часу в цих координатах запишеться так само, як він записується для лоренцевскіх координат (систем відліку) в плоскому просторі Мінковського:

~ Ds ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 - dx ^ 2 - dy ^ 2 - dz ^ 2 ,

так що через точку простору-часу проходить нескінченно багато ліній, які мають нульову "довжину" (при визначенні довжини в просторі-часі через його "фізичну метрику" - тобто, як інтеграл від ds = \ sqrt {s ^ 2} ) - Утворюють світловий конус; нескінченно багато ліній, довжина яких речовинна - вони всі у внутрішній області світлового конуса; і нескінченно багато тих, довжина яких чисто уявна - поблизу даної точки вони все у зовнішній сфері світлового конуса з вершиною в ній, якщо вони не візьмеш.

  • Знак квадрата інтервалу - предмет угоди. Він може бути обраний (і історично був) протилежним. У наш час, мабуть, частіше використовується вибір знака як вище в цій статті. Однак іноді протилежний зручніше, якщо використовується введена Мінковським і нерідко зручна інтерпретація тимчасової координати як чисто уявної.
  • Нумерація координат x i - Також предмет угоди, проте в сучасній літературі найчастіше вони нумеруються як і тут - від 0 до 3, причому тимчасової координаті приписується індекс 0.
  • У теоретичних побудовах, що використовують простір-час більшої розмірності, визначення інтервалу природним чином узагальнюється додаванням в суму ще деякої кількості просторових координат. При цьому найчастіше (хоча не завжди) передбачається, що тимчасова координата залишається єдиною, тобто зазвичай тільки одне складова входить зі знаком, протилежним всім іншим.
  • Різноманіття із заданим на ньому невиродженим інтервалом (або, іншими словами, невиродженої метрикою) називається псевдорімановим, точніше - власне псевдорімановим, щоб підкреслити відмінність від ріманова різноманіття, в якому метрика - на відміну від інтервалу - позитивно певна, як і звичайне евклідовское відстань.
  • Визначення інтервалу не однакові у спеціальної та загальної теорії відносності. Це пов'язано з тим, що інтервал між двома довільними точками простору-часу Маньківського можна ввести, не стикаючись із труднощами, як довжину з'єднує їх прямої лінії (геодезичної), як це і зроблено вище. Однак для загального вигляду викривленого простору-часу цього вже зробити так просто не можна, так як точки можуть з'єднуватися кількома різними геодезичними (або навіть нескінченним їх числом). Тому інтервал у загальній теорії відносності визначають зазвичай в нескінченно малої околиці заданої точки, де виходили з неї різні геодезичні ще не перетинаються, а відстань по геодезичним лініях від однієї точки до іншої називають світову функцією.

2. Інваріантність інтервалу в спеціальній теорії відносності

2.1. Використовувані постулати

Напряму з принципу відносності, однорідності і ізотропності простору, а також однорідності часу випливає, що при переході від однієї ІСО (інерціальної системи відліку) до іншої ІСО інтервал залишається незмінним. Саме це його властивість дозволяє формально вивести перетворення Лоренца і обгрунтовує виправданість введення простору Мінковського і нерімановой метрики.

Інваріантність швидкості світла тут має значення тому, що відомо, що швидкість світла завжди однакова хоча б в одній системі відліку, а з цього і з принципу відносності випливає, що вона повинна бути такою ж у будь-ІСО. Однак замість швидкості світла можна було б взяти максимальну швидкість руху тіл або розповсюдження взаємодій, яка також, з принципу відносності, повинна бути однакова у всіх інерціальних системах відліку. Якщо максимальна швидкість поширення взаємодій кінцева, вона, внаслідок принципу відносності, повинна збігатися зі швидкістю світла, яку будемо тут позначати, як завжди, C.

Для приводиться нижче докази істотно, що ми будемо вважати всі зміни просторових координат і часу малими (нескінченно малими), тобто все буде формулювати для інтервалу між двома нескінченно близькими в просторі та часі подіями.


2.2. Доказ

  • Ймовірно, з огляду на деякі підводні камені, відмічені в примітках, в доказі з підручника Ландау, що наводиться нижче, простіше за все спочатку отримати в явному вигляді перетворення Лоренца, з яких інваріантність інтервалу елементарно слід.

Спочатку покажемо, що якщо інтервал між двома подіями дорівнює нулю в одній ІСО, то він дорівнює нулю в будь ІСО. Дійсно, нехай в ISO K подія 1 відбулося в точці x 1, y 1, z 1 в момент часу t 1 , А подія 2 - у точці x 2, y 2, z 2 в момент t 2 . За умовою інтервал між ними дорівнює 0, тобто

\ C ^ 2 (t_1-t_2) ^ 2 - (x_1-x_2) ^ 2 - (y_1-y_2) ^ 2 - (z_1-z_2) ^ 2 = 0

Це означає, що якщо з точки 1 випустити у точку 2 сигнал, що рухається зі швидкістю світла, то він опиниться в точці 2 через час t 2 - t 1 . Але, через інваріантності швидкості світла, для подій 1 і 2, що розглядаються в системі відліку K ', можна записати аналогічно

\ C ^ 2 (t ^ '_1-t ^' _2) ^ 2 - (x ^ '_1-x ^' _2) ^ 2 - (y ^ '_1-y ^' _2) ^ 2 - (z ^ ' _1-z ^ '_2) ^ 2 = 0

Це і доводить, що рівність інтервалу нуля не залежить від ІСО.

Для подальшого згадаємо, що ми розглядаємо інтервал між нескінченно близькими подіями, отже, він повинен бути нескінченно малою величиною. В силу однорідності і ізотропності простору і однорідності часу при зміні ІСО новий інтервал може бути лише функцією старого інтервалу і швидкості нової ІСО в старій ІСО, він не може залежати від координат точки або моменту часу. При зміні ІСО до інтервалу не може додаватися доданок, не залежне від інтервалу в старій ІСО, тому що якщо в одній ІСО інтервал дорівнює 0, то і в іншій ІСО він теж 0. Значить, обидва інтервалу будуть нескінченно малі. Так як інтервали нескінченно малі, то вони повинні бути пропорційні [1], як нескінченно малі одного порядку, враховуючи, що один з них звертається в нуль тоді і тільки тоді, коли і другий, як ми вже з'ясували спочатку. Значить, при зміні ІСО інтервал перетвориться за правилом

ds ^ 2_2 = k (\ vec V) ds ^ 2_1

В силу ізотропності простору k не може залежати від напрямку швидкості, тільки від її модуля.

Це означає [2], що розглянувши зміна інтервалу при переході від системи 1 до системи 2, а потім назад, враховуючи, що V однаково для прямого і зворотного перетворення з ізотропності простору та принципу відносності (друга система виглядає з першої нічим не відрізна від того , як перша система виглядає з другої), маємо

ds ^ 2_2 = K (V) ds ^ 2_1
ds ^ 2_1 = K (V) ds ^ 2_2

а отже (так як d s 1 = d s 1 )

K ^ 2 (V) = 1 ~ - Для будь-якого V.

Залишилось відкинути випадок K = -1. Це можна зробити Розглянувши три ISO та зміна інтервалу між ними. Роблячи послідовний перехід від першої СО до третьої, через другу, маємо

ds ^ 2_3 = K ^ 2 ds ^ 2_1

а для прямого переходу відразу з першої до третьої

ds ^ 2_3 = K ds ^ 2_1

звідси видно, що K 2 = K , І отже залишається лише варіант

k (V) = 1 ~ - Для будь-якого V,

і інтервал не змінюється при зміні ІСО.

На закінчення можна помітити, що з інваріантності нескінченно малих інтервалів слід і інваріантність кінцевих, так як останні виходять простим інтегруванням нескінченно малих.


3. Сенс знака квадрата інтервалу

  • Якщо ds ^ 2 \ ge 0 , То інтервал називається временіподобним. Временіподобний інтервал між подіями означає, що існує така система відліку, в якій обидва події відбулися в одному і тому ж місці. Що ще більш важливо, временіподобний інтервал між подіями означає, що вони можуть бути причинно пов'язані. Легко переконатися, що для причинно пов'язаних подій ds ^ 2 \ ge 0 , Так як будь-яка взаємодія поширюється зі швидкістю не більшою C, причому d s = 0 відповідає подіям, пов'язаним сигналом, що поширюється зі швидкістю світла. Цей сигнал не зобов'язаний бути саме світловим, це може бути гравітаційна хвиля, взагалі будь-яка безмасові частка або навіть ще не відкрите взаємодію. Істотно лише, що існує максимальна швидкість поширення взаємодії, однакова для всіх систем відліку і рівна, як випливає з рівнянь Максвелла, швидкості світла.
  • Якщо ds ^ 2 \ le 0 , То інтервал називається пространственноподобним, і значить можна вибрати таку інерційну систему відліку, в якій обидва події відбулися в один і той же час. Події, інтервал між якими пространственноподобен, як зазначено вище, не можуть бути причинно пов'язаними, оскільки навіть поширюється по прямій сигнал повинен би був для цього рухатися швидше за швидкість світла.
  • Якщо ж d s 2 = 0 , То інтервал називається светоподобного (іноді ізотропним або нульовим). Напрямки в просторі Мінковського, уздовж яких інтервал дорівнює 0, називаються ізотропними. Також ізотропними називаються різноманіття, для яких форма d s 2 тотожно дорівнює 0. Світло поширюється завжди уздовж ізотропних напрямів.

Зауваження. Оскільки інваріантний сам інтервал, то, очевидно, знак його квадрата теж виявляється інваріантним. Тому класифікація інтервалів за цією ознакою, що приводиться тут, не залежить від системи відліку.


Примітки

  1. Це місце в доказі, що наводиться в підручнику Ландау і Ліфшиця, досить нетривіально при удаваній простоті. Можливо, Ландау з його любов'ю до жартів вирішив тут перевірити, наскільки читачі добре розуміють виклад, на вигляд просте, але містить непомітні підводні камені. Хоча, звичайно, в якомусь сенсі розглядається твердження має бути вірним, виходячи хоча б з вірного результату докази. Однак детальний розгляд того, чому коефіцієнт виявляється просто числом, які залежать, наприклад, від кута між вектором швидкості і вектором, що з'єднує точки подій, інтервал між якими розглядається, в цьому доказі опущено: його пропонується відновити читачеві.
  2. З цього місця доказ кілька спрощено в порівнянні з доказом Ландау, проте якщо взяти за доведене те, що вже доведено до цього моменту, згідно викладу Ландау, подальшого достатньо.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорія відносності
Теорія відносності
Загальна теорія відносності
Спеціальна теорія відносності
Подія (теорія відносності)
Загальна теорія відносності в багатовимірному просторі
Інтервал
Терція (інтервал)
Довірчий інтервал
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru