Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Інтерполяція



План:


Введення

Про функцію, см.: Інтерполянт.

Інтерполяція, інтерполяція - в обчислювальної математики спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретному набору відомих значень.

Багатьом з тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом або методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б з високою точністю потрапляти інші одержувані значення. Така задача називається апроксимацією. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.

Існує також близька до інтерполяції завдання, яке полягає в апроксимації будь-якої складної функції іншої, більш простою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а по них побудувати, тобто інтерполювати, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш в простоті і швидкості обчислень може переважити отримувану похибка в результатах.

Слід також згадати і абсолютно інший різновид математичної інтерполяції, відому під назвою "інтерполяція операторів". До класичних робіт по інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса-Торіна (Riesz-Thorin theorem) і теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для безлічі інших робіт.


1. Визначення

Розглянемо систему незбіжних точок ~ X_i ( i \ in {0,1, \ dots, N} ) З деякої області ~ D . Нехай значення функції ~ F відомі тільки в цих точках:

y_i = f (x_i), \ quad i = 1, \ ldots, N.

Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції ~ F із заданого класу функцій, що

F (x_i) = y_i, \ quad i = 1, \ ldots, N.
  • Точки ~ X_i називають вузлами інтерполяції, а їх сукупність - інтерполяційної сіткою.
  • Пари ~ (X_i, y_i) називають точками даних або базовими точками.
  • Різниця між "сусідніми" значеннями ~ \ Delta x_i = x_i-x_ {i-1} - Кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним так і постійним.
  • Функцію ~ F (x) - Інтерполюються функцією або інтерполянтом.

2. Приклад

1. Нехай ми маємо табличну функцію, на зразок описаної нижче, яка для кількох значень ~ X визначає відповідні значення ~ F :

~ X~ F (x)
0 0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 -0,7568
5 -0,9589
6 -0,2794

Інтерполяція допомагає нам дізнатися яке значення може мати така функція в точці, відмінній від зазначених, наприклад, при x = 2,5?

На цей час існує безліч різних способів інтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від відповідей на питання: як точний обираний метод, які витрати на його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона вимагає і т. п.


2. Знайти проміжне значення

6000 15.5
6378 ?
8000 19.2

? = 15.5 + \ frac {6378-6000} {(8000-6000)} * \ frac {19.2-15.5} {1} = 16.1993


3. Способи інтерполяції

3.1. Інтерполяція методом найближчого сусіда

Найпростішим способом інтерполяції є інтерполяція методом найближчого сусіда.

3.2. Інтерполяція многочленами

На практиці найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано насамперед з тим, що многочлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні і безліч многочленів щільно в просторі безперервних функцій ( теорема Вейєрштрасса).


3.3. Зворотне інтерполяція (обчислення x при заданому y)

3.4. Інтерполяція функції декількох змінних

3.5. Інші способи інтерполяції

4. Суміжні концепції

  • Екстраполяція - методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої)
  • Апроксимація - методи побудови наближених кривих

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Лінійна інтерполяція
Ермітових інтерполяція
Інтерполяція (текстологія)
Раціональна інтерполяція
Інтерполяція методом найближчого сусіда
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru