Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ірраціональне число



План:


Введення

Ірраціональне число - це дійсне число, яке не є раціональним, тобто яке не може бути представленим у вигляді дробу \ Frac {m} {n} , Де m - ціле число, n - натуральне число. Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, непорівнянних із відрізком одиничної довжини, знали вже стародавні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі і сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа \ Sqrt 2 .

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається заголовною латинською буквою "i" в напівжирному накресленні без заливки - \ Mathbb I . Таким чином: \ Mathbb I = \ R \ backslash \ Q , Тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.


1. Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манаві (бл. 750 р. до н. Е.. - Бл. 690 р. до н. Е..) З'ясував, що квадратні корені деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппаса з Метапонті (бл. 500 рр.. до н. е..), піфагорійці, який знайшов це доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить в будь-який відрізок. Однак Гиппас обгрунтував, що не існує єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до протиріччя. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить ціле число одиничних відрізків, то це число повинне бути одночасно і парних, і непарною. Доказ виглядало наступним чином:

  • Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a: b, де a і b вибрані найменшими з можливих.
  • За теоремою Піфагора: a = 2 b.
  • Так як a парне, a повинно бути парним (так як квадрат непарного числа був би непарних).
  • Оскільки a: b нескоротного, b зобов'язана бути непарним.
  • Так як a парне, позначимо a = 2 y.
  • Тоді a = 4 y = 2 b.
  • b = 2 y, отже b парне, тоді і b парне.
  • Однак було доведено, що b непарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення несумірних величин алогос (невимовним), проте згідно з легендами не віддав Гіппаса належної поваги. Існує легенда, що Гиппас зробив відкриття, перебуваючи в морському поході, і його викинуло за борт іншими піфагорійцями "за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел і їх відносин". Відкриття Гіппаса поставило перед пифагорейской математикою серйозну проблему, зруйнувавши лежало в основі всієї теорії припущення, що числа та геометричні об'єкти єдині й нероздільні.

Феодор Кіренський довів ірраціональність коренів натуральних чисел до 17 (крім, природно, точні квадрати - 1, 4, 9 і 16), але зупинився на цьому, так як имевшаяся в його інструментарії алгебра не дозволяла довести ірраціональність квадратного кореня з 17. З приводу того, яким могло бути це доказ, істориками математики було висловлено кілька різних припущень. Згідно найбільш правдоподібного припущенням Жана ИТАР (1961), воно було засноване на пифагорейской теорії парних і непарних чисел, у тому числі - на теоремі про те, що непарне квадратне число за вирахуванням одиниці ділиться на вісім трикутних чисел.

Пізніше Евдокс Кнідський (410 або 408 р. до н. е.. - 355 або 347 р. до н. е..) розвинув теорію пропорцій, яка брала до уваги як раціональні, так і ірраціональні відносини. Це послужило підставою для розуміння фундаментальної суті ірраціональних чисел. Величина стала вважатися не числом, але позначенням сутностей, таких як відрізки прямих, кути, площі, обсяги, проміжки часу - сутностей, які можуть змінюватися безперервно (в сучасному розумінні цього слова). Величини були протиставлені числах, які можуть змінюватися лише "стрибками" від одного числа до сусіднього, наприклад, з 4 на 5. Числа складаються з найменшою неподільною величини, в той час як величини можна зменшувати нескінченно.

Оскільки жодне кількісне значення не зіставлялося величині, Евдокс зміг охопити і сумірні, і несумірні величини при визначенні дробу як відносини двох величин, і пропорції як рівності двох дробів. Прибравши з рівнянь кількісні значення (числа), він уникнув пастки, що складається в необхідності назвати ірраціональну величину числом. Теорія Евдокса дозволила грецьким математикам здійснити неймовірний прогрес в геометрії, надавши їм необхідне логічне обгрунтування для роботи з непомірними величинами. "Книга 10 елементів" Евкліда присвячена класифікації ірраціональних величин.


1.1. Середні століття

Середні століття ознаменувалися прийняттям таких понять як нуль, негативні числа, цілі і дробові числа, спершу індійськими, потім китайськими математиками. Пізніше приєдналися арабські математики, які першими стали вважати негативні числа алгебраїчними об'єктами (поряд і на рівних правах з позитивними числами), що дозволило розвинути дисципліну, нині звану алгеброю.

Арабські математики з'єднали давньогрецькі поняття "числа" і "величини" в єдину, більш загальну ідею дійсних чисел. Вони критично ставилися до уявлень Евкліда про відносини, на противагу їй вони розвинули теорію відносин довільних величин і розширили поняття числа до відносин безперервних величин. У своїх коментарях на Книгу 10 елементів Евкліда, перський математик Аль Махане (ок 800 мм. Н. Е..) Досліджував і класифікував квадратичні ірраціональні числа (числа виду) і більш загальні кубічні ірраціональні числа. Він дав визначення раціональним та ірраціональним величинам, які він і називав ірраціональними числами. Він легко оперував цими об'єктами, але міркував як про відокремлені об'єктах, наприклад:

Раціональної [величиною] є, наприклад, 10, 12, 3%, 6% і так далі, оскільки ці величини вимовлені і виражені кількісно. Що не раціонально, то ірраціонально, і неможливо вимовити або представити відповідну величину кількісно. Наприклад, квадратні корені чисел таких так 10, 15, 20 - не є квадратами.

На противагу концепції Евкліда, що величини суть в першу чергу відрізки прямих, Аль Махане вважав цілі числа і дроби раціональними величинами, а квадратні і кубічні корені - ірраціональними. Він також ввів арифметичний підхід до безлічі ірраціональних чисел, оскільки саме він показав ірраціональність наступних величин:

результат додавання ірраціональної величини і раціональної, результат віднімання раціональної величини з ірраціональної, результат віднімання ірраціональної величини з раціональною.

Єгипетський математик Абу Каміл (бл. 850 р. н. Е.. - Бл. 930 р. н. Е..) Був першим, хто визнав прийнятним визнати ірраціональні числа рішенням квадратних рівнянь або коефіцієнтами в рівняннях - в основному, у вигляді квадратних або кубічних коренів, а також коренів четвертого ступеня. У X столітті іракський математик Аль Хашимі вивів загальні докази (а не наочні геометричні демонстрації) ірраціональності твори, приватного та результатів інших математичних перетворень над ірраціональними та раціональними числами. Ал Хазін (900 р. н. Е.. - 971 р. н. Е..) Подає таке визначення раціональної та ірраціональної величини:

Нехай одинична величина міститься в даній величині один або кілька разів, тоді ця [дана] величина відповідає цілому числу ... Кожна величина, яка становить половину, або третину, або чверть одиничної величини, або, порівняння з одиничною величиною становить три п'ятих від неї, це раціональна величина. І в цілому, будь-яка величина, яка відноситься до одиничної як одне число до іншого, є раціональною. Якщо ж величина не може бути представлена ​​як кілька або частину (l / n), або кілька частин (m / n) одиничної довжини, вона ірраціональна, тобто невимовна інакше як за допомогою коренів.

Багато з цих ідей були пізніше перейняті європейськими математиками після переведення на латину арабських текстів у XII столітті. Аль Хассар, арабський математик із Магрибу, що спеціалізувався на ісламських законах про спадщину, в XII столітті ввів сучасну символьну математичну нотацію для дробів, розділивши чисельник і знаменник горизонтальній рисою. Та ж нотація з'явилася потім у роботах Фібоначчі в XIII столітті. Протягом XIV-XVI ст. Мадхава з Сангамаграми і представники Керальской школи астрономії та математики досліджували нескінченні ряди, що сходяться до деяких ірраціональним числам, наприклад, до π, а також показали ірраціональність деяких тригонометричних функцій. Джестадева навів ці результати в книзі Йуктібхаза.


1.2. Наш час

У XVII столітті в математиці міцно зміцнилися комплексні числа, вклад у вивчення яких внесли Абрахам де Муавр (1667-1754) і Леонард Ейлер (1707-1783). Коли теорія комплексних чисел в XIX столітті стала замкнутою і чіткою, стало можливим класифікувати ірраціональні числа на алгебраїчні і трансцендентні (довівши при цьому існування трансцендентних чисел), тим самим переосмисливши роботи Евкліда за класифікацією ірраціональних чисел. По цій темі в 1872 були опубліковані роботи Вейерштрасса, Гейне, Кантора і Дедекинда. Хоча ще в 1869 році Мере почав розгляду, схожі з Гейне, саме 1872 прийнято вважати роком народження теорії. Вейерштрасс, Кантор і Гейне обгрунтовували свої теорії за допомогою нескінченних рядів, у той час як Дедекинда працював з (нині так званим) Дедекіндовим перетином безлічі дійсних чисел, розділяючи всі раціональні числа на дві множини з певними характеристичними властивостями.

Ланцюгові дроби, тісно пов'язані з ірраціональними числами (ланцюгова дріб, що представляє дане число, нескінченна тоді і тільки тоді, коли число є ірраціональним), були вперше досліджені Катальді в 1613 році, потім знову привернули до себе увагу в роботах Ейлера, а на початку XIX століття - в роботах Лагранжа. Дирихле також вніс значний вклад у розвиток теорії ланцюгових дробів.

У 1761 році Ламберт показав, що π не може бути раціонально, а також що e n ірраціонально при будь-якому ненулевом раціональному n. Хоча доказ Ламберта можна назвати незавершеним, прийнято вважати його досить суворим, особливо враховуючи час його написання. Лежандр в 1794 році, після введення функції Бесселя-Кліффорда, показав, що π ірраціонально, звідки ірраціональність π слід тривіально (раціональне число у квадраті дало б раціональне). Існування трансцендентних чисел було доведено Ліувіля в 1844-1851 роках. Пізніше Георг Кантор (1873) показав їх існування, використовуючи інший метод, і обгрунтував, що будь-який інтервал речового ряду містить нескінченно багато трансцендентних чисел. Шарль Ерміта довів в 1873 році, що e трансцендентно, а Фердинанд Ліндеман в 1882 році, грунтуючись на цьому результаті, показав трансцендентність π. Доказ Ліндеманна було потім спрощено Вейерштрасом в 1885 році, ще більше спрощено Давидом Гільбертом в 1893 році і, нарешті, доведено до майже елементарного Адольфом Гурвіцем і Паулем Горданом.


2. Властивості

  • Усяке дійсне число може бути записано у вигляді нескінченної десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
  • Ірраціональні числа визначають Дедекіндови перетину в множині раціональних чисел, у яких в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого числа.
  • Кожне трансцендентне число є ірраціональним.
  • Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.
  • Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
  • Безліч ірраціональних чисел незліченно, є безліччю другої категорії. [1]

3. Теореми

3.1. Корінь з 2 - ірраціональне число

Припустимо гидке: \ Sqrt {2}раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу \ Frac {m} {n} , Де m і n - цілі числа. Зведено передбачуване рівність в квадрат:

\ Sqrt {2} = \ frac {m} {n} \ Rightarrow 2 = \ frac {m ^ 2} {n ^ 2} \ Rightarrow m ^ 2 = 2n ^ 2 .

Звідси випливає, що m 2 парне, отже, четно і m . Нехай m = 2 r , Де r ціле. Тоді

(2r) ^ 2 = 2n ^ 2 \ Rightarrow n ^ 2 = 2r ^ 2

Отже, n 2 парне, отже, четно і n . Ми отримали, що m і n парних, що суперечить нескоротного дробу \ Frac {m} {n} . Значить, вихідне припущення було невірним, і \ Sqrt {2} - Ірраціональне число.


3.2. log 2 Березня - Ірраціональне число

Припустимо гидке: log 2 Березня раціональний, тобто представляється у вигляді дробу \ Frac {m} {n} , Де m і n - цілі числа. Оскільки log 2 3> 0 , m і n можуть бути обрані позитивними. Тоді

\ Log_2 3 = \ frac {m} {n} \ Rightarrow m = n \ log_2 3 \ Rightarrow 2 ^ m = 2 ^ {n \ log_2 3} = \ left (2 ^ {\ log_2 3} \ right) ^ n = 3 ^ n

Але 2 m парне, а 3 n непарній. Отримуємо протиріччя.


3.3. e - Ірраціональне число

Див розділ "Доказ ірраціональності" в статті "e".

4. Інші ірраціональні числа

Ірраціональні числа
ζ (3) - √ 2 - √ 3 - √ 5 - φ - α - e - π - δ

Ірраціональними є:

  • \ Sqrt {n} для будь-якого натурального n , Яка не є точним квадратом
  • e x для будь-якого раціонального x \ ne 0
  • ln x для будь-якого позитивного раціонального x \ ne 1
  • π , А також π n для будь-якого натурального n

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
80 (число)
31 (число)
-1 (Число)
60 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru