Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Абелева група



План:


Введення

Абелева або коммутативна група є група, в якій групова операція є комутативної; тобто група (G, *) абелева якщо a * b = b * a для будь-яких двох елементів a, \; b \ in G .

Групова операція в абелевих групах зазвичай називається "складанням" і позначається знаком + .

Назва дана на честь норвезького математика Абеля за його внесок у дослідження груп підстановок.


1. Приклади

  • Група паралельних переносів в лінійному просторі.
  • Будь циклічна група G = \ langle a \ rangle . Дійсно, для будь-яких x = a n і y = a m вірно, що
    x y = a m a n = a m + n = a n a m = y x .
  • Будь-яке кільце є комутативної (абелевих) групою за своїм складанню. У тому числі і речові числа з операцією додавання.
  • Оборотні елементи комутативної кільця, зокрема, ненульові елементи будь-якого поля, утворюють абелева групу з множенню. Наприклад, речові числа, не рівні нулю, з операцією множення.

2. Пов'язані визначення

  • За аналогією з розмірністю у векторних просторів, кожна абелева група має ранг. Він визначається як мінімальна розмірність простору над полем раціональних чисел, в який вкладається фактор групи з її крученню.

3. Властивості


4. Кінцеві абелеві групи

Основоположна теорема про структуру кінцевої абелевих групи стверджує, що будь-яка кінцева абелева група може бути розкладена в пряму суму своїх циклічних підгруп, порядки яких є ступенями простих чисел. Це наслідок загальної теореми про структуру конечнопорожденних абелевих груп для випадку, коли група не має елементів нескінченного порядку. \ Z_ {mn} ізоморфно прямий сумі \ Z_m і \ Z_n тоді і тільки тоді, коли m і n взаємно прості.

Отже, можна записати абелева групу G у формі прямої суми

\ Z_ {k_1} \ oplus \ ldots \ oplus \ Z_ {k_u}

двома різними способами:

  • Де числа k_1, \; \ ldots, \; k_u ступеня простих
  • Де k 1 ділить k 2 , Яке ділить k 3 , І так далі до k u .

Наприклад, \ Z/15 \ Z = \ Z_ {15} може бути розкладено в пряму суму двох циклічних підгруп порядків 3 та 5: \ Z/15 \ Z = \ {0, \; 5, \; 10 \} \ oplus \ {0, \; 3, \; 6, \; 9, \; 12 \} . Те ж можна сказати про будь-яку абелева група порядку п'ятнадцять, приходимо до висновку, що всі абелеві групи близько 15 ізоморфні.


5. Варіації і узагальнення

  • Диференціальної групою називається абелева група \ Mathbf {C} , В якій поставлене таке ендоморфізм d \ colon \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C} , Що d 2 = 0 . Цей ендоморфізм називається диференціалом. Елементи диференціальних груп називаються ланцюгами, елементи ядра \ Ker \, d - Циклами, елементи способу \ Mathrm {Im} \, d - Межами.

Література

  • Винберг Е. Б. Курс алгебри - 3-е изд. - М .: Факторіал Пресс, 2002. - 544 с. - 3000 екз . - ISBN 5-88688-060-7.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Конечнопорожденная абелева група
Група
T2 (група)
АТ-група
Група 77
Група Е4
75 (група)
Can (група)
Група Лі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru