Збіжний ряд \ Sum a_n називається збіжним абсолютно, якщо сходиться ряд з модулів \ Sum | a_n | , Інакше - збіжним умовно.

Аналогічно, якщо невласний інтеграл \ Int f (x) \, dx від функції сходиться, то він називається збіжним абсолютно чи умовно в залежності від того, сходиться чи ні інтеграл від її модуля \ Int | f (x) | \, dx .

У разі спільного нормованого простору модуль у визначенні замінюється на норму.


1. Ряди

1.1. Ознаки абсолютної збіжності

1.1.1. Ознака порівняння

Якщо \ Exist N_0: | a_n | \ leqslant b_n при n \ geqslant N_0 , То:

  • якщо ряд \ Sum b_n сходиться, то ряд \ Sum a_n сходиться абсолютно
  • якщо ряд \ Sum a_n розходиться, то ряд \ Sum b_n розходиться
Згідно критерієм Коші, \ Forall \ varepsilon> 0 \ \ exist N \ geqslant N_0 \ \ forall m \ geqslant n \ geqslant N: \ left | \ sum_ {k = n} ^ {m} b_k \ right | \ leqslant \ varepsilon . Значить, \ Left | \ sum_ {k = n} ^ {m} a_k \ right | \ leqslant \ sum_ {k = n} ^ {m} | a_k | \ leqslant \ sum_ {k = n} ^ {m} b_k \ leqslant \ left | \ sum_ {k = n} ^ {m} b_k \ right | \ leqslant \ varepsilon , І за критерієм Коші ряд \ Sum a_n сходиться. Друге твердження випливає з першого, так як якщо б ряд \ Sum b_n сходився, то і ряд \ Sum a_n сходився б.

1.1.2. Ознака збіжності рядів з монотонно убувають членами

Нехай a_1 \ geqslant a_2 \ geqslant a_3 \ geqslant ... \ Geqslant 0 . Тоді ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n сходиться тоді і тільки тоді, коли сходиться ряд \ Sum_ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {k} a_ {2 ^ k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ...

Доказ

Позначимо:

s_n = a_1 + a_2 + ... + A_n

t_k = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2 ^ {k} a_ {2 ^ k}

Оскільки збіжність ряду з невід'ємними членами еквівалентна обмеженості послідовності його часткових сум, то досить показати, що s_n і t_k обмежені або не обмежені одночасно.

При n <2 ^ k маємо

s_n \ leqslant a_1 + (a_2 + a_3) + ... + (A_ {2 ^ k} + ... + a_ {2 ^ {k +1} -1}) \ leqslant a_1 + 2a_2 + ... + 2 ^ {k} a_ {2 ^ k} = t_k

Таким чином, s_n \ leqslant t_k

З іншого боку, при n> 2 ^ k

s_n \ geqslant a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + ... + (A ^ {2 ^ {k-1} +1} + ... + a_ {2 ^ k}) \ geqslant \ frac {1} {2} a_1 + a_2 + 2a_4 + ... + 2 ^ {k-1} a_ {2 ^ k} = \ frac {1} {2} t_k

Таким чином, 2s_n \ geqslant t_k і послідовності s_n і t_k або обидві обмежені, або обидві не обмежені.


1.1.3. Ознаки Коші і Даламбера

Ознака Д'Аламбера

Ряд \ Sum a_n

  1. Сходиться абсолютно, якщо \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ {n +1}} {a_n} \ right | <1
  2. Розходиться, якщо \ Varliminf_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ {n +1}} {a_n} \ right |> 1
  3. Існують як збіжні, так і розбіжні ряди, для яких \ Varliminf_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ {n +1}} {a_n} \ right | \ leqslant 1 \ leqslant \ varlimsup_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ { n +1}} {a_n} \ right |

Ознака Коші

Нехай заданий ряд \ Sum a_n і \ Alpha = \ varlimsup_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |} . Тоді

  1. Якщо \ Alpha <1 , То ряд сходиться абсолютно
  2. Якщо \ Alpha> 1 , То ряд розбігається
  3. Існують як збіжні, так і розбіжні ряди, для яких \ Alpha = 1

Твердження про збіжності в ознаках Коші і Даламбера виводиться з порівняння з геометричною прогресією (із знаменниками \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {a_ {n +1}} {a_n} \ right | і \ Alpha відповідно), про расходимости - з того, що загальний член ряду не прямує до нуля.

Ознака Коші сильніше ознаки Даламбера в тому сенсі, що якщо ознака Даламбера вказує на збіжність, то і ознака Коші вказує на збіжність; якщо ознака Коші не дозволяє зробити висновку про збіжність, то і ознака Даламбера теж не дозволяє зробити ніяких висновків; існують ряди, для яких ознака Коші вказує на збіжність, а ознака Даламбера не вказує на збіжність.


1.1.4. Інтегральний ознака Коші - Маклорена

Нехай заданий ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n, a_n \ geqslant 0 і функція f (x): \ R \ to \ R така, що:

  • f (x) нестрого монотонно убуває: x_1 <x_2 \ Rightarrow f (x_1) \ geqslant f (x_2)
  • \ Forall n f (n) = a_n

Тоді ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n і інтеграл \ Int \ limits_1 ^ \ infty f (x) dx сходяться чи розходяться одночасно, причому \ Forall k \ geqslant 1 \ \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} a_n \ geqslant \ int \ limits_k ^ {\ infty} f (x) dx \ geqslant \ sum_ {n = k +1} ^ {\ infty} a_n


1.1.5. Ознака Раабе

Нехай заданий ряд \ Sum a_n , a_n> 0 і R_n = n \ left (\ frac {a_n} {a_ {n +1}} - 1 \ right) .

  1. Якщо \ Varliminf_ {n \ to \ infty} R_n> 1 , То ряд сходиться
  2. Якщо \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} R_n \ leqslant 1 , То ряд розбігається
  3. Існують як збіжні, так і розбіжні ряди, для яких \ Varliminf_ {n \ to \ infty} R_n \ leqslant 1 \ leqslant \ varlimsup_ {n \ to \ infty} R_n

Ознака Раабе заснований на порівнянні з узагальненим гармонічним рядом


1.2. Дії над рядами

  • Якщо обидва ряди \ Sum a_n і \ Sum b_n сходяться абсолютно, то і їх сума \ Sum (a_n + b_n) сходиться абсолютно
  • Якщо хоча б один з рядів \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n і \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n сходиться абсолютно, то їх добуток за Коші \ Sum c_n, c_n = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k b_ {n-k} сходиться, якщо ж обидва ряди сходяться абсолютно, то і їх твір сходиться абсолютно
  • Ряд сходиться абсолютно тоді і тільки тоді, коли кожна його перестановка сходиться. При цьому всі перестановки абсолютно сходиться ряду сходяться до однієї і тієї ж суми.

1.3. Приклади

Розглянемо ряд \ Frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 3} + ... . Для цього ряду:

  • \ Varliminf_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ n = 0
  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt [2n] {\ frac {1} {2 ^ n}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}}
  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ n = + \ infty

Таким чином, ознака Коші вказує на збіжність, ознака Даламбера ж не дозволяє зробити ніяких висновків.


Розглянемо ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n-(-1) ^ n}

  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ {n +1 +1}} {2 ^ {n -1}} = 8
  • \ Varliminf_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ {n +1-1}} {2 ^ {n +1}} = \ frac {1} {2}
  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} 2 \ sqrt [n] {2 ^ {(-1) ^ n}} = 2

Таким чином, ознака Коші вказує на розбіжність, ознака Даламбера ж не дозволяє зробити ніяких висновків.


Ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ \ alpha} сходиться при \ Alpha> 1 і розходиться при \ Alpha \ leqslant 1 , Проте:

  • \ Varliminf_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n} {n +1} \ right) ^ \ alpha = 1
  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {\ alpha / n} = 1
  • \ Varlimsup_ {n \ to \ infty} \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n} {n +1} \ right) ^ \ alpha = 1

Таким чином, ознаки Коші і Даламбера не дозволяють зробити ніяких висновків.


Ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n} {n} сходиться умовно по ознакою Лейбніца, але не абсолютно, так як гармонійний ряд \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | \ frac {(-1) ^ n} {n} \ right | = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} { n} розходиться.


2. Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду \ Int \ limits_ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx називається абсолютно збіжним, якщо сходиться інтеграл \ Int \ limits_ {a} ^ {+ \ infty} | f (x) | dx .

Властивості
  • з збіжності інтеграла \ Int \ limits_ {a} ^ {+ \ infty} | f (x) | dx випливає збіжність інтеграла \ Int \ limits_ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx .
  • Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
  • Якщо інтеграл \ Int \ limits_ {a} ^ {+ \ infty} | f (x) | dx розходиться, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

3. Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Нехай f (x) визначена і интегрируема [A; b-\ varepsilon \] \ quad \ forall \ varepsilon \ \ in (0; ba) , Необмежена в лівій околиці точки b . Невласний інтеграл другого роду \ Int \ limits_ {a} ^ {b} f (x) dx називається абсолютно збіжним, якщо сходиться інтеграл \ Int \ limits_ {a} ^ {b} | f (x) | dx .

Властивості
  • з збіжності інтеграла \ Int \ limits_ {a} ^ {b} | f (x) | dx випливає збіжність інтеграла \ Int \ limits_ {a} ^ {b} f (x) dx .
  • Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
  • Якщо інтеграл \ Int \ limits_ {a} ^ {b} | f (x) | dx розходиться, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.