Абсолютна неперервність

Абсолютна неперервність - в математичному аналізі, властивість функцій і заходів, що складається, неформально кажучи, у виконанні теореми Ньютона-Лейбніца про зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зазвичай ця теорема формулюється в термінах інтеграла Рімана і включає в свої умови интегрируемость похідної за Ріманом. При переході до більш загального інтегралу Лебега, природна вимога існування вимірної похідної майже всюди стає занадто слабким, і для виконання співвідношення, аналогічного теоремі Ньютона - Лейбніца, необхідно більш тонке умова, яка і називається абсолютною неперервністю. Це поняття переноситься на заходи за допомогою похідної Радона - Никодима.


1. Абсолютно неперервні функції

Функція f \ left (x \ right) називається абсолютно безперервною функцією на кінцевому або нескінченному відрізку, якщо \ Forall \ varepsilon> 0 , \ Exist \ delta> 0 таке, що для будь-якого кінцевого набору непересічних інтервалів \ Left (x_i, y_i \ right)області визначення функції \, \! F , Який задовольняє умові \ Sum \ left (y_i - x_i \ right) <\ delta , Виконано \ Sum \ left | f \ left (y_i \ right) - f \ left (x_i \ right) \ right | <\ varepsilon .

Абсолютно безперервна на відрізку функція є рівномірно безперервної, і, отже, безперервної. Зворотне невірно.


1.1. Властивості абсолютно неперервних функцій

  • Всяка абсолютно неперервна функція має на проміжках кінцевої довжини обмежену варіацію.
  • Абсолютно неперервні функції утворюють векторний простір. Більш того, вони утворюють замкнутий підпростір в просторі функцій обмеженої варіації.
  • Твір абсолютно неперервних на відрізку кінцевої довжини функцій дає абсолютно неперервну функцію.
  • Кожна абсолютно неперервна функція представима у вигляді різниці двох неубивающей абсолютно неперервних функцій.
  • (Лебег) Якщо F абсолютно неперервна на (A, b) , То F ' є интегрируемой, і для майже всіх x \ in [a, b]
\ Int \ limits_a ^ x {F '(t) \, dt} = F (x)-F (a) .

1.2. Приклади

Наступні функції є безперервними, але не абсолютно неперервними:

f (x) = \ begin {cases} 0, & \ mbox {if} x = 0 \ \ x \ sin (1 / x), & \ mbox {if} x \ neq 0 \ end {cases}
на кінцевих інтервалах, що містять 0;
  • функція (x) = x 2 на необмежених інтервалах.

2. Абсолютно неперервні заходи

Література