Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аксіоматика Гільберта



План:


Введення

Аксіоматика Гільберта - система аксіом евклідової геометрії. Розроблено Гільбертом як більш повна, ніж система аксіом Евкліда.


1. Невизначені поняття

Невизначені в цій системі аксіом поняттями є: точка, пряма лінія, площину. Є також 3 елементарних бінарних відносини :

  • Лежати між, застосовно до точок;
  • Утримувати, застосовно до точок і прямим, точках і площинах або прямим і площин;
  • Конгруентність (геометричне рівність), застосовано, наприклад, до відрізкам, кутах або трикутниками, і позначається інфіксним символом ≅.

Всі точки, прямі і площини передбачаються різними, якщо не обумовлено особливе.


2. Аксіоми

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

  • аксіоми приналежності:
    • планіметричних:
      1. Які б не були дві точки A і B, існує пряма a, якій належать ці точки.
      2. Які б не були дві різні точки A і B, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
      3. Кожній прямий a належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
    • стереометричні:
      1. Які б не були три точки A, B і C, які не належать одній прямій, існує площину α, якій належать ці три точки. Кожній площині належить хоча б одна точка.
      2. Які б не були три точки A, B і C, які не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці точки.
      3. Якщо дві належать прямий a різні точки A і B належать деякій площині α, то кожна належить прямий a точка належить зазначеній площині.
      4. Якщо існує одна точка A, що належить двом площинам α і β, то існує принаймні ще одна точка B, що належить обом цим площинам.
      5. Існують принаймні чотири точки, що не належать одній площині.
  • аксіоми порядку:
    • лінійні:
      1. Якщо точка B прямий а лежить між точками А і С тієї ж прямої, то А, В і С - різні точки зазначеної прямий, причому В лежить також і між С і А.
      2. Які б не були дві різні точки А і С, на обумовленою ними прямий існує принаймні одна точка В така, що С лежить між А і В.
      3. Серед будь-яких трьох точок, що лежать на одній прямій, існує не більше однієї точки, що лежить між двома іншими.
    • Аксіома Паша
  • аксіоми конгруентності:
    • конгруентність відрізків:
      1. Якщо А і В - дві точки на прямій а, А '- точка на тій же прямій або на інший прямий а', то за дану від точки А 'бік прямої а' знайдеться, до того ж лише одна, точка В 'така, що відрізок А'B 'конгруентна відрізку АВ. Кожен відрізок АВ конгруентна відрізку ВА.1
      2. Якщо відрізки А'B 'і А "B" конгруентний одному і тому ж відрізку АВ, то вони конгруентний і між собою.
      3. Нехай АВ і ВС - два відрізка прямої а, не мають загальних внутрішніх точок, А'B 'і B'C' - два відрізки тієї прямий, або іншої прямої а ', також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентна відрізку А'B ', а відрізок ВС конгруентна відрізку B'C', то відрізок АС конгруентна відрізку А'C '.
    • конгруентність кутів:
      1. Якщо дані кут ∠ ABC і промінь B'C ', що лежить в площині даного кута, тоді існує рівно два промені, також лежать в площині даного кута, B'D і B'E, такі, що ∠ DB'C' ≅ ∠ ABC і ∠ EB'C '≅ ∠ ABC.
    • Слідство. Кожен кут конгруентна сам собі.
      1. Трикутники ΔABC ≅ ΔA'B'C ', якщо AB ≅ A'B', AC ≅ A'C ', і ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C'.
  • аксіоми безперервності
      1. Аксіома Архімеда. Якщо дані відрізок CD і промінь AB, то існує число n і n точок A 1,..., A n на AB таких, що: A j A j +1 ≅ CD, 1 \ leqslant j <n , І B лежить між A 1 and A n.
      2. "Повнота лінії". Додавання хоча б однієї додаткової точки в пряму лінію викличе протиріччя з однією з аксіом приналежності, порядку, першими двома аксіомами конгруентності або аксіомою Архімеда.
  • аксіома паралельності, для якої Гільберт вибрав не евклідовскую формулювання, а еквівалентну їй, але більш просту аксіому Прокла :
      1. Нехай a є довільна пряма і A - точка поза нею; тоді в площині, яка визначається точкою А і прямої а, можна провести не більше однієї прямої, що проходить через A і не перетинає a.

3. 21-а аксіома

Гільберт спочатку (1899) включив 21-ю аксіому:

"Будь-яким чотирьом точкам на прямий можна присвоїти імена A, B, C, D і так, щоб точка B лежала між точками A і C, а також між A і D; точка C - між A і D, а також між B і D ".

Е.Х. Мур (англ.) довів у 1902, що ця аксіома надлишкова.

4. Історія

Аксіоматична схема евклідової геометрії була опублікована Давидом Гільбертом в 1899 році в святковому томі "Festsehrift", присвяченому відкриттю в Геттінгені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу і його другу фізику Вільгельму Вебером. Нині "Підстави геометрії" видано на багатьох мовах світу, одне з двох видань російською мовою зазначено внизу в посиланнях.

5. Інші системи аксіом

Творці догільбертовскіх систем:

Споріднені гільбертовому:

Більш сучасні аксіоматики:

  • аксіоматика Тарського
  • аксіоматика Біргофа - містить "аксіому лінійки "і" аксіому транспортира ". Її варіанти використовуються у більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова.
  • Аксіоматика Вейля - оперує невизначені поняття точки і вільного вектора. Пряма і площина визначаються як безлічі точок.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аксіоматика Колмогорова
Аксіоматика теорії множин
Аксіоматика теорії множин
Перетворення Гільберта
Теорема Гільберта 90
Тринадцята проблема Гільберта
Третя проблема Гільберта
Десята проблема Гільберта
Сімнадцята проблема Гільберта
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru