Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аксіома вибору



План:


Введення

Аксіомою вибору називається таке висловлювання теорії множин : "Для кожного сімейства непустих непересічних множин існує (принаймні одне) безліч d , Яке має тільки один загальний елемент c c кожним з множин b даного сімейства ".

На формальному мові:

\ Begin {align} \ forall a \; (a \ neq \ varnothing \ land \ forall b \; (b \ in a \ to b \ neq \ varnothing) \ land \ forall b_1 \ forall b_2 \; (b_1 \ neq b_2 \ land \ {b_1, \; b_2 \} \ subseteq a \ to b_1 \ cap b_2 = \ varnothing) \ \ \ to \ exist d \; \ forall b \; (b \ in a \ to \ exist! c \; (b \ cap d = \ {c \ }))). \ end {align}

1. Історія та оцінки

Аксіома вибору була сформульована і опублікована Ернстом Цермело в 1904 (хоча вперше її зазначив Беппо Леві на 2 роки раніше). Нова аксіома викликала бурхливу полеміку і досі беззастережно приймається не всіма математиками. Існує думка, що докази, отримані з її залученням, мають "іншу пізнавальну цінність", ніж докази, що не залежать від нього. Поява аксіоми вибору викликало також дискусію про те, що означає в математиці поняття "існування" - зокрема, про те, чи можна вважати існуючим безліч, жоден елемент якого не відомий.

Неприйняття аксіоми вибору деякими математиками засновано, насамперед, тим, що в ній лише стверджується існування безлічі d , Але не дається ніякого способу його визначення. Це думка, наприклад, Бореля й Лебега. Протилежної думки дотримувалися, наприклад, Гільберт, Хаусдорф і Френкель, які брали аксіому вибору без всяких застережень, визнаючи за нею ту ж ступінь "очевидності", що і за іншими аксіомами теорії множин : аксіома об'ємності, аксіома існування порожнього безлічі, аксіома пари, аксіома суми, аксіома ступеня, аксіома нескінченності.

Більше того, серед наслідків аксіоми вибору є багато досить парадоксальних, що викликають інтуїтивний протест частини математиків. Наприклад, з'являється можливість довести парадокс Банаха - Тарського, який навряд чи можуть вважати "очевидним" всі дослідники). Докладний аналіз численних доказів, що використовують аксіому вибору, провів Вацлав Серпінський. Однак, без сумніву, багато важливих математичні відкриття не можна було б зробити без аксіоми вибору [1].

Бертран Рассел так відгукнувся про аксіому вибору: "Спочатку вона здається очевидною, але чим більше вдумуватися, тим більш дивними здаються висновки з цієї аксіоми; під кінець ж взагалі перестаєш розуміти, що ж вона означає".


2. Альтернативні формулювання

Аксіома вибору стверджує:

Нехай X - безліч непустих множин. Тоді ми можемо вибрати єдиний елемент з кожного безлічі в X .

Функція вибору - функція на множині множин X така, що для кожного безлічі s в X , f (s) є елементом з s . З використанням поняття функції вибору аксіома стверджує:

Для будь-якого сімейства непустих множин X існує функція вибору f , Визначена на X .

Або альтернативно:

Довільне декартовій твір непустих множин непорожній.

Або найбільш стисло:

Кожне безліч непустих множин має функцію вибору.

Звідси негайно слід компактна формулювання заперечення аксіоми вибору:

Існує безліч непустих множин, яка не має жодної функції вибору.

Друга версія аксіоми вибору стверджує:

Для даного довільного безлічі попарно непересічних непустих множин існує принаймні одне безліч, яке містить точно один елемент, спільний з кожним з непустих множин.

Деякі автори використовують іншу версію, яка ефективно стверджує:

Для будь-якого безлічі A , Його булеан за вирахуванням порожнього підмножини \ Mathcal P (A) \ setminus \ {\ varnothing \} має функцію вибору.

Автори, які використовують це формулювання, часто також говорять про "функції вибору на A ", Але обумовлюють, що мають на увазі трохи інше поняття функції вибору. Її область визначення - булеан (мінус пусте підмножина), тоді як в інших місцях цієї статті, область визначення функції вибору -" безліч множин ". З цим додатковим поняттям функції вибору , аксіома вибору може бути стисло сформульована так:

Кожне безліч має функцію вибору.

3. Застосування

До кінця XIX століття аксіома вибору використовувалася беззастережно. Наприклад, після визначення безлічі X , Що містить непорожня множина, математик міг сказати: "Нехай F (s) буде визначено для кожного s з X ". Загалом, неможливо довести, що F існує без аксіоми вибору, але це, здається, залишалося без уваги до Цермело.

Не у всіх випадках потрібно аксіома вибору. Для кінцевого набору X аксіома вибору випливає з інших аксіом теорії множин. У цьому випадку це те ж саме, що говорити, якщо ми маємо кілька (кінцеве число) коробок, кожна з яких містить в собі по одній однаковій речі, тоді ми можемо вибрати рівно одну річ з кожної коробки. Ясно, що ми можемо зробити це: ми почнемо з першої коробки, виберемо річ; вирушимо до другої коробці, виберемо річ, і т. д. Так як є кінцеве число коробок, то діючи нашої процедурою вибору, ми прийдемо до кінця. Результатом буде функція явного вибору: функція, яка першою коробці зіставляє перший елемент, який ми вибрали, другий коробці - другий елемент і т. д. (Для отримання формального докази для всіх кінцевих множин слід скористатися принципом математичної індукції.)

У випадку з нескінченним безліччю X іноді також можна обійти аксіому вибору. Наприклад, якщо елементи X - Множини натуральних чисел. Кожен непорожній набір натуральних чисел має найменший елемент, таким чином, визначаючи нашу функцію вибору, ми можемо просто сказати, що кожному безлічі зіставляється найменший елемент набору. Це дозволяє нам зробити вибір елемента з кожного безлічі, тому ми можемо записати явний вираз, яке говорить нам, яке значення наша функція вибору приймає. Якщо можливо таким чином визначити функцію вибору, в аксіомі вибору немає необхідності.

Складнощі з'являються у випадку, якщо неможливо здійснити природний вибір елементів з кожного безлічі. Якщо ми не можемо зробити явний вибір, то чому впевнені, що такий вибір можна зробити в принципі? Наприклад, нехай X - Це безліч непустих підмножин дійсних чисел. По-перше, ми могли б вчинити як у випадку, якщо б X було кінцевим. Якщо ми спробуємо вибрати елемент у кожного множини, тоді, так як X нескінченно, наша процедура вибору ніколи не прийде до кінця, і внаслідок цього ми ніколи не отримаємо функції вибору для всього X . Так що це не спрацьовує. Далі, ми можемо спробувати визначити найменший елемент із кожного безлічі. Але деякі підмножини дійсних чисел не містять найменший елемент. Наприклад, таким підмножиною є відкритий інтервал (0, \; 1) . Якщо x належить (0, \; 1) , То x / 2 також належить йому, причому менший, ніж x . Отже, вибір найменшого елемента теж не працює.

Причина, яка дозволяє вибрати нам найменший елемент з підмножини натуральних чисел - це факт, що натуральні числа мають властивість вполнеупорядоченності. Кожна підмножина натуральних чисел має єдиний найменший елемент в силу природної впорядкованості. Можливо, якби ми були розумніші, то могли б сказати: "Можливо, якщо звичайний порядок для дійсних чисел не дозволяє знайти особливе (найменше) число в кожному підмножині, ми могли б ввести інший порядок, який таки давав би властивість вполнеупорядоченності. Тоді наша функція зможе вибрати найменший елемент із кожного безлічі в силу нашого незвичайного упорядкування ". Проблема тоді виникає в цьому побудові вполнеупорядоченності, яка для свого рішення вимагає наявності аксіоми вибору. Іншими словами, кожне безліч може бути цілком впорядковано тоді і тільки тоді, коли аксіома вибору справедлива.

Докази, що вимагають аксіоми вибору, завжди неконструктивні: навіть якщо доказ створює об'єкт, неможливо сказати, що ж саме це за об'єкт. Отже, хоч аксіома вибору дозволяє цілком впорядкувати безліч дійсних чисел, це не дає нам ніякої наочності і конструктивізму в цілому. Сама причина, по якій наш вищевказаний вибір цілком упорядкування дійсних чисел був таким для кожного безлічі X , Ми могли явно вибрати елемент з такого безлічі. Якщо ми не можемо вказати, що ми використовуємо цілком упорядкованість, тоді наш вибір не цілком явний. Це одна з причин, чому деякі математики не люблять аксіому вибору). Наприклад, конструктивістська установка що всі існуючі докази повинні бути повністю явними; повинно бути можливим побудова чого б то не було що існує. Вони відкидають аксіому вибору тому, що вона заявляє існування об'єкта без опису. З іншого боку, факт - що для доказу існування використовується аксіома вибору - не означає, що ми не зможемо здійснити побудова іншим способом.


3.1. Принцип цілком упорядкування (теорема Цермело)

Дуже поширена і зручна формулювання використовує поняття цілком упорядкованої множини. Нам потрібно кілька визначень, і ми почнемо з суворого визначення лінійного порядку, що виражає знайому нам ідею на мові теорії множин. Нагадаємо, що впорядкована пара елементів позначається (X, \; y) і що декартовій твір множин X \ times Y складається з усіх можливих впорядкованих пар (X, \; y) , Де x \ in X, \; y \ in Y .

Лінійним порядком на безлічі A називається підмножина декартового добутку R \ subseteq A \ times A , Що володіє таким властивостями:

  1. Повне: \ Forall x, \; y \ in A \; ((x, \; y) \ in R \ lor (y, \; x) \ in R) .
  2. Антисиметричною: \ Forall x, \; y \ in A \; ((x, \; y) \ in R \ wedge (y, \; x) \ in R \ to y = x) .
  3. Транзитивне: \ Forall x, \; y, \; z \ in A \; ((x, \; y) \ in R \ wedge (y, \; z) \ in R \ to (x, \; z) \ in R) .
Повним порядком на безлічі A називається такий лінійний порядок, що кожна підмножина X \ subseteq A має найменший елемент.

Принцип повного порядку полягає в тому, що будь-яка множина може бути цілком упорядковано.

Наприклад, безліч натуральних чисел може бути цілком впорядковано звичайним відношенням "менше або дорівнює чим". З тим же відношенням безліч цілих чисел не має найменшого елемента. У цьому випадку ми можемо зібрати цілі числа в послідовність (0, \; -1, \; 1, \; -2, \; 2, \; \ ldots, \;-n, \; n, \; \ ldots) і сказати, що молодші члени менше, ніж старші. Очевидно, таке ставлення буде повним порядком на цілих числах.

Набагато менш очевидно, що дійсні числа, що формують незліченну безліч, можуть бути цілком упорядковані.


3.2. Лемма Цорна

Якщо в частково упорядкованому безлічі будь ланцюг (тобто лінійно впорядкована підмножина) має верхню межу, то вся безліч має хоча б один максимальний елемент.

Більш формально:

Нехай (P, \; \ leqslant) - частково упорядкований безліч, тобто, відношення \ Leqslant - Рефлексивно, антисиметричною і транзитивній:

  • \ Forall x \ in P \ quad x \ leqslant x;
  • \ Forall x, \; y \ in P \; x \ leqslant y \ and y \ leqslant x \ to x = y;
  • \ Forall x, \; y, \; z \ in P \; x \ leqslant y \ and y \ leqslant z \ to x \ leqslant z.
Підмножина S \ subset P називається лінійно впорядкованим, якщо \ Forall x, \; y \ in S \; x \ leqslant y \ or y \ leqslant x . Елемент u \ in S називається верхньою межею, якщо \ Forall x \ in S \; x \ leqslant u . Припустимо, що будь лінійно впорядкована підмножина безлічі P має верхню грань. Тоді \ Exists m \ in P \; \ forall x \ in P \; m \ leqslant x \ to m = x - Максимальний елемент.

3.3. Принцип максимуму Хаусдорфа

Примітки

Література



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорія раціонального вибору
Співдружність демократичного вибору
Теорія суспільного вибору
Свобода пересування та вибору місця проживання
Аксіома
Аксіома булеан
Аксіома Паша
Аксіома об'єднання
Аксіома пари
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru