Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аксіома пари



План:


Введення

Аксіомою [існування невпорядкованою] пари називається наступний вислів теорії множин :

~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exist c \ forall b \ (b \ in c \ \ leftrightarrow \ b = a_1 \ \ lor \ b = a_2)

Аксіому пари можна сформулювати по-російськи, а саме: "З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити [щонайменше одну]" невпорядковану пару ", тобто така безліч ~ C , Кожен елемент ~ B якого ідентичний даним безлічі ~ A_1 або даним безлічі ~ A_2 . "


1. Інші формулювання аксіоми пари

~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exist c \ (c = \ {b: \ b = a_1 \ \ lor \ b = a_2 \} \)

~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exist c \ forall b \ (b \ notin c \ \ leftrightarrow \ b \ ne a_1 \ \ land \ b \ ne a_2)

~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exist c \ (a_1 \ in c \ \ land \ a_2 \ in c \ quad \ land \ quad \ forall b \ (b \ ne a_1 \ \ land \ b \ ne a_2 \ to b \ notin c) \)

Примітки

1. Акіому пари можна вивести з схеми перетворення

  • ~ \ Forall a \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ \ leftrightarrow \ \ exist b \ (b \ in a \ \ land \ c = \ mathrm {f} (b) \)) , Якщо покласти ~ A = \ mathcal {P} (\ mathcal {P} (\ varnothing)) і вибрати функцію ~ \ Mathrm {f} такий, що ~ C = \ mathrm {f} (b) \ \ Leftrightarrow \ (b = \ varnothing \ to c = a_1) \ land (b \ ne \ varnothing \ to c = a_2) .

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність [невпорядкованою] пари. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома пари рівносильна висловом

~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exists! c \ forall b \ (b \ in c \ leftrightarrow b = a_1 \ lor b = a_2) , Що є ~ \ Forall a_1 \ forall a_2 \ exist c \ forall c '\ (\ forall b \ (b \ in c' \ leftrightarrow b = a_1 \ lor b = a_2) \ \ leftrightarrow c = c ')

Останнє висловлювання дозволяє стверджувати наступне: "З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити тільки одну" невпорядковану пару ", тобто така безліч ~ C , Кожен елемент ~ B якого ідентичний даним безлічі ~ A_1 або даним безлічі ~ A_2 . "

3. З аксіоми пари можна вивести теорему про існування одноелементні множини:

~ \ Forall a \ exist c \ forall b \ (b \ in c \ leftrightarrow b = a)



Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аксіома
Аксіома нескінченності
Аксіома Паша
Аксіома булеан
Аксіома регулярності
Аксіома об'ємності
Аксіома Архімеда
Аксіома вибору
Аксіома об'єднання
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru