Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аксіоми Пеано



План:


Введення

Аксіоми Пеано - одна з систем аксіом для натуральних чисел.

Аксіоми Пеано дозволили формалізувати арифметику. Після введення аксіом стали можливі докази багатьох властивостей натуральних і цілих чисел, а також використання цілих чисел для побудови формальних теорій раціональних і дійсних чисел.


1. Про неповноту

Як випливає з теореми Геделя про неповноту, існують твердження про натуральні числа, які не можна ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом Пеано. Деякі такі твердження мають досить просте формулювання, наприклад, теорема Гудстейн.

2. Формулювання

2.1. Словесна

  1. 1 є натуральним числом;
  2. Число, наступне за натуральним, також є натуральним;
  3. 1 не слід ні за яким натуральним числом;
  4. Якщо натуральне число \, \! a безпосередньо випливає як за числом \, \! b , Так і за числом \, \! c , То \, \! b і \, \! c тотожні;
  5. (Аксіома індукції) Якщо будь-яка пропозиція доведено для 1 (база індукції) і якщо з припущення, що воно вірне для натурального числа \, \! n , Випливає, що воно вірне для наступного за \, \! n натурального числа (індукційне припущення), то ця пропозиція вірно для всіх натуральних чисел.

2.2. Математична

Введемо функцію \, \! S (x) , Яка зіставляє числу \, \! x наступне за ним число.

  1. 1 \ in \ mathbb {N} ;
  2. x \ in \ mathbb {N} \ rightarrow S (x) \ in \ mathbb {N} ;
  3. \ Nexists x \ in \ mathbb {N} \; (S (x) = 1) ;
  4. S (b) = a \ rightarrow (S (c) = a \ rightarrow b = c) ;
  5. P (1) \ wedge (\ forall n (P (n) \ rightarrow P (S (n))) \ rightarrow \ forall n \ in \ N (P (n))) .

Або так:

  1. 1 \ in \ mathbb {N} ;
  2. S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} \ setminus \ {1 \} ;
  3. \ Exist S ^ {-1} ;
  4. 1 \ in M ​​\ land \ forall n \ in M ​​(n \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow S (n) \ in M) \ Rightarrow \ mathbb {N} \ subset M .

2.3. Дослівний текст

Текст аксіом Пеано, як він приведений в оригінальному виданні Пеано.

  1. "1 є натуральне число";
  2. "Наступне за натуральним числом є натуральне число";
  3. "1 не слід ні за яким натуральним числом";
  4. "Всяке натуральне число слід тільки за одним натуральним числом";
  5. Аксіома повної індукції.

3. Формалізація арифметики

Формалізація арифметики включає в себе аксіоми Пеано, а також вводить число 0 і операції додавання і множення з допомогою наступних аксіом:

  1. \, \! x +0 = x
  2. \, \! x_1 + S (x_2) = S (x_1 + x_2)
  3. \, \! x \ cdot 0 = 0
  4. \, \! x_1 \ cdot S (x_2) = x_1 \ cdot x_2 + x_1

4. Історія

Формальне визначення натуральних чисел в XIX столітті сформулював італійський математик Пеано. Аксіоми Пеано грунтувалися на більш ранніх побудовах Грассмана. Несуперечність арифметики Пеано доведена (англ.) в 1936 році Генценом за допомогою трансфінітних індукції до ордінала \ Epsilon_0.


Література



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аксіоми отделимости
Пеано, Джузеппе
Крива Пеано
Пеано, Джузеппе
Похідна Пеано
Формула Тейлора - Пеано
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru