Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Алгебра Келі



План:


Введення

Алгебра Келі - система Гіперкомплексні чисел, 8-мірна алгебра над полем дійсних чисел. Зазвичай позначається \ Mathbb {O} , Оскільки її елементи (числа Келі) називаються іноді октоніонамі або октавами.

Число Келі - це лінійна комбінація елементів ~ \ {1, i, j, k, l, il, jl, kl \} . Кожна октава x може бути записана у формі

x = x_0 + x_1 \, i + x_2 \, j + x_3 \, k + x_4 \, l + x_5 \, il + x_6 \, jl + x_7 \, kl.

з речовими коефіцієнтами ~ X_i . Октоніони знаходять застосування у фізиці: наприклад, в СТО і теорії струн [1]. Таблиця множення елементів октави:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) -1 k - J il - L - Kl jl
j (e2) - K -1 i jl kl - L - Il
k (e3) j - I -1 kl - Jl il - L
l (e4) - Il - Jl - Kl -1 i j k
il (e5) l - Kl jl - I -1 - K j
jl (e6) kl l - Il - J k -1 - I
kl (e7) - Jl il l - K - J i -1
Площина Фано для мнемонічного запам'ятовування таблиці множення

Таблиця (Келі) множення октоніонов [2]

e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 1 -1 e 3 -E 2 e 5 -E 4 -E 7 e 6
e 2 -E 3 -1 e 1 e 6 e 7 -E 4 -E 5
e 3 e 2 -E 1 -1 e 7 -E 6 e 5 -E 4
e 4 -E 5 -E 6 -E 7 -1 e 1 e 2 e 3
e 5 e 4 -E 7 e 6 -E 1 -1 -E 3 e 2
e 6 e 7 e 4 -E 5 -E 2 e 3 -1 -E 1
e 7 -E 6 e 5 e 4 -E 3 -E 2 e 1 -1

Часто числа можуть замінюватися буквеним позначенням:

Число 1 2 3 4 5 6 7
Букви i j k l il jl kl
Заміна i j k l m n o

1. Властивості


2. Сполучення і норма

Нехай дано октоніон

x = x_0 + x_1 \, i + x_2 \, j + x_3 \, k + x_4 \, l + x_5 \, il + x_6 \, jl + x_7 \, kl

Операція сполучення октоніона x визначена рівністю

x ^ * = x_0 - x_1 \, i - x_2 \, j - x_3 \, k - x_4 \, l - x_5 \, il - x_6 \, jl - x_7 \, kl.

Операція сполучення задовольняє равенствам

(X y) * = y * x *
x ^ * =- \ frac 16 (x + (ix) i + (jx) j + (kx) k + (lx) l + ((il) x) (il) + ((jl) x) (jl) + ((kl) x) (kl))

Речова частина октоніона x визначена рівністю

\ Frac 12 (x + x ^ *) = x_0

і уявна частина октоніона x визначена рівністю

\ Frac 12 (x - x ^ *)

Норма октоніона x визначена рівністю

\ | X \ | = \ sqrt {x ^ * x} .

Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що норма невід'ємне дійсне число

\ | X \ | ^ 2 = x ^ {*} x = x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + x_4 ^ 2 + x_5 ^ 2 + x_6 ^ 2 + x_7 ^ 2.

Отже, \ | X \ | = 0 тоді і тільки тоді, коли x = 0 .

З рівності

\ Frac 1 {\ | x \ | ^ 2} (x x ^ *) = 1

випливає, що октоніон x \ ne 0 звернемо і

x ^ {-1} = \ frac {x ^ *} {\ | x \ | ^ 2}.

3. Історія

Вперше розглянута в 1843 Грейвсом, приятелем [3] Гамільтона, а двома роками пізніше незалежно Келі.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Келі, Артур
Келі, Артур
Теорема Келі
Теорема Гамільтона - Келі
Граф Келі (теорія груп)
Теорема Келі (теорія груп)
Алгебра Лі
Алгебра Лі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru