Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Алгебраїчна топологія



План:


Введення

Алгебраїчна топологія (застаріла назва: комбінаторна топологія) - розділ топології, що вивчає топологічні простори шляхом зіставлення їм алгебраїчних об'єктів ( груп, кілець і т.д.) а також поведінка цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.


1. Основна ідея

Методи алгебраїчної топології засновані на припущенні, що алгебраїчні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологий (зараз дуже велике значення придбали екстраординарні гомології, наприклад теорія бордізмов або K -Теорія) для алгебраїчної топології важливі гомотопічні групи π n (X) . З них головною є π 1 (X) - Так звана фундаментальна група, на відміну від груп всіх інших розмірностей що може бути неабелевой.


2. Теорема Брауера (приклад)

Як приклад застосування методів алгебраїчній топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут D n означає замкнутий n -Мірний кулю, S n - 1 - Його (N - 1) -Мірну кордон (сферу):

Усяке безперервне відображення f n -Мірного кулі D n в себе має нерухому точку тобто таку точку x , Що f (x) = x

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує безперервного відображення g n -Мірного кулі D n на свій кордон S n - 1 такого, що g (x) = x для всіх точок кордону (так званої ретракції)

Справді, якщо у відображення f немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення g кулі на сферу провівши для кожної точки кулі x промінь, що виходить з f (x) і проходить через x (У разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою S n - 1 позначимо через y і покладемо g (x) = y . Ясно, що вийшло відображення безперервно, і якщо x належить сфері, то g (x) = x . Ми отримали ретракція кулі на сферу, що по лемі неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер головна трудність полягає в доказі леми. Нехай існує така ретракція g . Позначимо i - Вкладення сфери в кулю i (x) = x . Маємо:

твір відображень g i = id - Тотожне відображення сфери (спочатку i , Потім g ). Одним з найголовніших інструментів алгебраїчної топології є так звані групи гомологий (наприклад, сімпліціальние або сингулярні). Кожному топологическому простору X відповідає в кожній розмірності n своя абелева група гомологий H n (X) , А кожному безперервному відображенню f: X \ to Y відповідає гомоморфізм груп f_ *: H_n (X) \ to H_n (Y) , Причому твору відображень f g відповідає твір гомоморфізмом f * g * , А тотожному відображенню id відповідає тотожний ізоморфізм id * . (На мові теорії категорій це означає, що група гомологий є коваріантний функтором з категорії топологічних просторів в категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої лемі. Легко довести, що H_ {n-1} (S_ {n-1}) = \ mathbf {Z} , А H n - 1 (D n) = 0 . Тоді відображення g_ *: H_ {n-1} (D_n) \ to H_ {n-1} (S_ {n-1}) буде відображенням в 0 але, з іншого боку, так як g i = id , Маємо g_ * i_ *= \ mathrm {id} _ *: \ mathbf {Z} \ to \ mathbf {Z} - Є не нульовим гомоморфізмом, а тотожним изоморфизмом. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебраіческіе доведення теореми Брауера, але введення гомологий відразу дозволило легко довести безліч тверджень, раніше здавалися непов'язаними один з одним.


3. Історія

Деякі теореми алгебраїчної топології були відомі ще Ейлера, наприклад, що для всякого опуклого багатогранника з числом вершин V , Ребер E і граней F має місце V - E + F = 2 .

Топологічними питаннями цікавилися Гаусс і Ріман.

Але основну роль у створення алгебраїчної топології як науки зіграв Пуанкаре - саме йому належать поняття сімпліціальних гомологий та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод, Ейленберг, Серра, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Мілнор, Квіллен; з радянських / російських математиків необхідно зазначити П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягіна, Люстерник, Рохліна, Новикова, Фоменко, Концевича, Воєводського, Перельмана.


Література

  • Васильєв В. А. Введення в топологію. - М.: Фазісу, 1997
  • Вік Дж. У. Теорія гомологий. Введення в алгебраїчну топологію. - М.: МЦНМО, 2005
  • Віро О. Я., Іванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. задачний підручник з топології
  • Дольд А. Лекції з алгебраїчної топології. - М.: Мир, 1976
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи та програми. - М.: Наука, 1979
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи теорії гомологий. - М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топологія. - К.: РГД, 2001
  • Косневскі Ч. Початковий курс алгебраїчної топології. - М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраїчна топологія. - М.: ІЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топологія. - 2 вид., Испр. і доп. - К.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002
  • Прасолов В. В. Елементи теорії гомологий. - М.: МЦНМО, 2006
  • Світцер Р. М. Алгебраїчна топологія - гомотопий і гомології. - М.: Наука, 1985
  • Спеньер Е. Алгебраїчна топологія. - М.: Мир, 1971
  • Стінрод Н., Ейленберг С. Підстави алгебраїчної топології. - М.: Фізматгіз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопічних топології. - М.: Наука, 1989

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Алгебраїчна незалежність
Алгебраїчна геометрія
Алгебраїчна система
Алгебраїчна функція
Алгебраїчна квантова теорія
Алгебраїчна геометрія над алгебраїчними системами
Топологія
Атлас (топологія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru