Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Алгебраїчне число



План:


Введення

Алгебраїчне число над полем k - Елемент алгебраїчного замикання поля k , Тобто корінь многочлена (не рівного тотожне нулю) з коефіцієнтами з k .

Якщо поле не вказується, то передбачається поле раціональних чисел, тобто k = \ mathbb {Q} , В цьому випадку поле алгебраїчних чисел зазвичай позначається \ Mathbb {A} . Поле \ Mathbb {A} є підполем поля комплексних чисел.

Ця стаття присвячена саме цим "раціональним алгебраїчним числах".


1. Пов'язані визначення

  • Комплексне число, що не є алгебраїчним, називається трансцендентним.
  • Цілими алгебраїчними числами називаються корені многочленів з цілими коефіцієнтами і з старшим коефіцієнтом одиниця.
  • Якщо α - Алгебраїчне число, то серед усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, що мають α своїм корінням, існує єдиний многочлен найменшій мірі зі старшим коефіцієнтом, рівним 1 . Такий многочлен автоматично є непріводімим, він називається канонічним, або мінімальним, многочленом алгебраїчного числа α . (Іноді канонічним називають многочлен, що виходить з мінімального домноженіем на найменший спільний знаменник його коефіцієнтів, тобто многочлен з цілими коефіцієнтами)
    • Ступінь канонічного многочлена α називається ступенем алгебраического числа α .
    • Інші коріння канонічного многочлена α називаються сполученими до α .
    • Заввишки алгебраїчного числа α називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів у непріводімим і примітивному многочлене з цілими коефіцієнтами, що має α своїм корінням.

2. Приклади

  • Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го ступеня.
  • Уявна одиниця i і \ Sqrt2 є алгебраїчними числами 2-го ступеня. Сполученими до них є відповідно - i та - \ Sqrt2 .
  • При будь-якому натуральному числі n число \ Sqrt [n] 2 є алгебраїчним ступеня n.

3. Властивості


4. Історія

Вперше алгебраїчні поля став розглядати Гаусс. При обгрунтуванні теорії біквадратичних вирахувань він розвинув арифметику цілих гауссових чисел, тобто чисел виду a + b i , Де a і b - цілі числа. Далі, вивчаючи теорію кубічних відрахувань, Якобі і Ейзенштейн створили арифметику чисел виду a + b ρ , Де \ Rho = (-1 + i \ sqrt3) / 2 - Кубічний корінь з одиниці, а a і b - Цілі числа. У 1844 році Ліувілль довів теорему про неможливість занадто хорошого наближення коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами раціональними дробами, і, як наслідок, ввів формальні поняття алгебраїчних і трансцендентних (тобто всіх інших речових) чисел. Спроби довести велику теорему Ферма привели Куммера до вивчення полів розподілу кола, введенню поняття ідеалу і створенню елементів теорії алгебраїчних чисел. У роботах Дирихле, Кронекера, Гільберта та інших теорія алгебраїчних чисел отримала свій подальший розвиток. Великий внесок у неї внесли російські математики Золотарьов ( теорія ідеалів), Вороний (кубічні ірраціональності, одиниці кубічних полів), Марков (кубічне поле), Сохоцкій (теорія ідеалів) та інші.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ціле алгебраїчне число
Алгебраїчне доповнення
Алгебраїчне рівняння
Алгебраїчне вираз
Алгебраїчне розширення
18 (число)
-1 (Число)
27 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru