Алгебра Валя

Алгебра Валя (або Алгебра Валентини) - неассоціатівное алгебра M над полем F, в якій бінарна мультиплікативна операція підпорядковується наступним аксіомам:

1. Умові антисиметрична :

g (A, B) =-g (B, A)

для всіх A, B \ in M .

2. Тотожності Валентини:

J (g (A_1, A_2), g (A_3, A_4), g (A_5, A_6)) = 0

для всіх A_k \ in M , Де k = 1,2, ..., 6, і

J (A, B, C): = g (g (A, B), C) + g (g (B, C), A) + g (g (C, A), B).

3. Умові білінійної:

g (aA + bB, C) = ag (A, C) + bg (B, C)

для всіх A, B, C \ in M і a, b \ in F .

Можна сказати, що M є алгеброю Валентини, якщо коммутант цієї алгебри є Лієв подалгеброй. Будь алгебра Лі є алгеброю Валентини.

Білінійна мультиплікативна операція в алгебрі Валентини, так само як в алгебрі Лі, не є асоціативної операцією.

Існує наступний взаємозв'язок між Комутантна-асоціативної алгеброю і алгеброю Валя. Заміна множення g (A, B) в алгебрі M операцією коммутирования [A, B] = g (A, B)-g (B, A), перетворює її в алгебру M ^ {(-)} . При цьому, якщо M є Комутантна-асоціативної алгеброю, то M ^ {(-)} буде алгеброю Валя. Алгебра Валя є узагальненням алгебри Лі, яка є приватним прикладом алгебри Валентини.

Алгебри Валя можуть бути використані для опису дисипативних і негамільтонових квантових систем.


Приклади алгебри Валентини

(1) Будь-яка кінцева алгебра Валя є дотичною алгеброю аналітичних локальних Комутантна-асоціативних луп (луп Валя), аналогічно тому як кінцеві алгебри Лі є дотичними алгебрами аналітичних локальних груп ( груп Лі). Це твердження є аналогом відповідності між аналітичними локальними групами ( групами Лі) і алгебрами Лі.

(2) Білінійна операція для диференціальних 1-форм

\ Alpha = F_k (x) \, dx ^ k, \ quad \ beta = G_k (x) \, dx ^ k

на сімплектіческом різноманітті, визначається за правилом

(\ Alpha, \ beta) _0 = d \ Psi (\ alpha, \ beta) + \ Psi (d \ alpha, \ beta) + \ Psi (\ alpha, d \ beta), \,

де (\ Alpha, \ beta) - 1-форма. Ця білінійна операція на безлічі незамкнутих 1-форм задає алгебру Лі.

Якщо \ Alpha і \ Beta є замкнутими 1-формами, то d \ alpha = d \ beta = 0 і

(\ Alpha, \ beta) = d \ Psi (\ alpha, \ beta). \,

Ця білінійна операція на безлічі замкнутих 1-форм задає алгебру Лі.

Ця білінійна операція на безлічі незамкнутих диференціальних 1-форм задає вже не алгебру Лі, а алгебру Валентини, яка не є алгеброю Лі.


Література