Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Алгебра Лі



План:


Введення

Алгебра Лі - об'єкт абстрактної алгебри. Природно з'являється при вивченні інфінітезімальних властивостей груп Лі.

Названа по імені норвезького математика Софус Лі ( 1842 - 1899).


1. Визначення

Алгеброю Лі (інакше Лієв алгеброю) називається векторний простір \ Mathfrak {L} над полем K , Забезпечене білінійних відображенням

\ Mathfrak {L} ^ 2 \ to \ mathfrak {L}, \ \ (x, y) \ mapsto [x, y],

задовольняє наступним двом аксіомам :

Іншими словами, в алгебрі Лі задана антикоммутативність операція, яка задовольняє тотожності Якобі. Ця операція називається комутатор або дужка Лі.


1.1. Зауваження


2. Приклади

2.1. 3-мірне векторний простір

Звичайне тривимірне векторне простір є алгеброю Лі щодо операції векторного твори.

2.2. Лінійні алгебри Лі

Якщо V - конечномерное векторний простір над K ( \ Mathrm {dim} \; V = n ), То безліч його лінійних перетворень \ Mathrm {End} \; V - Також векторний простір над K . Воно має розмірність \ Mathrm {dim} (\ mathrm {End} \; V) = n ^ 2 і може бути представлено як простір матриць n \ times n . У цьому векторному просторі задана природна операція множення (композиція перетворень). Визначимо операцію дужки Лі формулою [X, y] = x y - y x . Простір \ Mathrm {End} \; V з так введеної дужкою Лі задовольняє всім аксіомам алгебри Лі.

Щоб відрізняти вийшла алгебру Лі від початкової асоціативної алгебри лінійних перетворень, її позначають \ Mathfrak {gl} \; (V) . Ця алгебра Лі називається повною лінійної алгеброю. У разі нескінченновимірного простору V також використовується позначення \ Mathfrak {gl} \; (V) . Будь подалгебра в \ Mathfrak {gl} \; (V) називається лінійної алгеброю Лі


2.3. Асоціативні алгебри над K і множення в K-модулі

Нехай \ Mathfrak {A} - Довільна асоціативна алгебра над K з множенням: (X, y) x y . Вона має природну структурою алгебри Лі над K , Якщо визначити дужку Лі через асоціативне множення за формулою: [X, y] = x y - y x , Цей вислів називається комутатором. Зауважимо, що зворотне твердження невірне: дужка Лі в загальному випадку не дозволяє ввести асоціативне множення, тому не всяка алгебра Лі є в той же час асоціативної алгеброю.


2.4. Алгебра Лі векторних полів

Якщо M - гладке різноманіття, простір всіх заданих на ньому диференційовних векторних полів утворює нескінченновимірних алгебру Лі. Операція, що перетворює векторні поля в алгебру Лі, може бути описана декількома еквівавлентнимі способами:

  • Використовуючи похідну Лі від поля Y у напрямку поля X
[X, Y] \ equiv L_X Y .
  • Якщо на різноманітті задана локальна система координат (T 1 ​​,..., t n) , То в координатному представленні комутатор векторних полів дорівнює
[X, Y] ^ i = X ^ j \ partial_j Y ^ i - Y ^ j \ partial_j X ^ i,

де, як звичайно, мається на увазі підсумовування по повторюваному індексом j і

\ Partial_j Y ^ i (t_1 ,..., t_n) = \ frac {\ partial} {\ partial t_ {j}} Y ^ i (t_1 ,..., t_n) ,

\ Partial_j X ^ i (t_1 ,..., t_n) = \ frac {\ partial} {\ partial t_ {j}} X ^ i (t_1 ,..., t_n)

приватні похідні від функцій Y i (t 1,..., t n), X i (t 1,..., t n) вздовж напрямків t j.


  • вибравши довільну ріманова метрику на різноманітті, можна показати:
[X, Y] = \ nabla_X Y - \ nabla_Y X

де X, Y - векторні поля, а \ Nabla_X - коваріантна похідна за напрямом векторного поля X. Еквівалентність з визначеннями даними вище показує, що результат насправді не залежить від вибору метрики.

  • векторні поля взаємно однозначно відповідають диференціювання алгебри функцій на різноманітті, комутатор диференціювання знову є диференціюванням (див. наступний пункт) і значить задає векторне поле.


Тотожність Якобі для алгебри векторних полів можна переписати як правило Лейбніца для похідної Лі:

[X, [Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y, [X, Z]] \ Longleftrightarrow L_X [Y, Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z ]

Зауваження: групу діффеоморфізмов різноманіття слід неформально вважати "групою Лі" для алгебри Лі векторних полів на різноманітті. Хоча в безконечномірному випадку, відповідність між групами і алгебра Лі не носить формального характеру, проте багато властивостей можуть бути легко узагальнені, (хоча деякі перестають бути вірними).


2.5. Безліч всіх диференціювання K-алгебр і алгебр Лі

Диференціюванням в алгебрі \ Mathfrak {A} називається лінійне відображення \ Delta: \ mathfrak {A} \ to \ mathfrak {A} , Що задовольняє правилу Лейбніца диференціювання твори δ (a b) = a δ (b) + δ (a) b . Сукупність усіх диференціювання \ Operatorname {Der} \; \ mathfrak {A} є векторним підпростором в \ Operatorname {End} \; \ mathfrak {A} . Комутатор двох диференціювання знову є диференціюванням, тому \ Operatorname {Der} \; \ mathfrak {A} - Подалгебра в \ Mathfrak {gl (A)} .

Поряд з диференціювання довільних алгебр можна розглядати окремий випадок диференціювання алгебри Лі L . У алгебрах Лі деякі диференціювання виникають природним способом. Приєднаними ендоморфізмамі називаються диференціювання Лієв алгебри L виду \ Operatorname {ad} \; x \ colon y \ to [x, y]; x, y \ in L . Такі диференціювання називаються внутрішніми, інші - зовнішніми. Відображення L \ to \ operatorname {Der} \; L; \; x \ mapsto \ operatorname {ad} \; x називається приєднаним поданням алгебри Лі.

Внутрішні диференціювання утворюють у \ Operatorname {Der} (L) подалгебру \ Operatorname {ad} \; L , изоморфную факторалгебре L / Z (L) алгебри L по її центру Z (L): = \ {x \ in L \ mid [x, y] = 0; \ forall y \ in L \} .


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Алгебра
Алгебра множин
Алгебра Кліні
Ідеал (алгебра)
Поле (алгебра)
Сигнатура (алгебра)
Зовнішня алгебра
Алгебра Келі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru