Алгебра множин

Алгебра множин в теорії множин - це непорожній система підмножин, замкнута щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми).


1. Визначення

Сімейство \ Mathfrak {A} \ subset 2 ^ {X} підмножин безлічі X називається алгеброю, якщо воно задовольняє наступним властивостям:

  1. Якщо A \ in \ mathfrak {A} , То і його доповнення X \ setminus A \ in \ mathfrak {A}.
  2. Об'єднання двох множин A, B \ in \ mathfrak {A} також належить \ Mathfrak {A}.

2. Зауваження

  • За визначенням, якщо алгебра містить безліч A , То воно містить і його доповнення. Об'єднанням A з його доповненням є вихідна безліч X . Доповненням до безлічі X є порожня множина. Це означає, що безліч X і порожня множина міститься в алгебрі за визначенням.
  • В силу властивостей операцій над множинами, алгебра множин також замкнута щодо перетину і симетричної різниці.
  • Алгебра множин - це окремий випадок алгебри з одиницею, де операцією "множення" є перетин множин, а операцією "складання" є симетрична різниця.
  • Якщо вихідна безліч X є простором елементарних подій, то алгебра \ Mathfrak {A} називається алгеброю подій - ключове поняття теорії ймовірностей та пов'язаних з нею математичних дисциплін, що має унікальну інтерпретацію і відіграватиме самостійну роль в математиці.

3. Алгебра подій

Алгебра подійтеорії ймовірностей) - алгебра підмножин простору елементарних подій ~ \ Omega , Елементами якого служать елементарні події.

Як і належить алгебрі множин алгебра подій містить неможлива подія ( порожня множина) і замкнута щодо теоретико-множинних операцій, вироблених в кінцевому числі. Досить зажадати, щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу піде її замкнутість щодо будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо рахункового числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються наступні алгебри та сігма-алгебри подій:

Алгебри та сігма-алгебри подій - це області визначення ймовірності \ Mathbf {P} . Якщо \ Mathbf {P} (x) = 0 , То подія x \ subseteq \ Omega називається неможливим подією; якщо \ Mathbf {P} (x) = 1 , То подія x \ subseteq \ Omega називається достовірною подією;

Подія A + B або A \ cup B , Полягає в тому, що з двох подій A і B відбувається принаймні одне, називається сумою подій A і B .

Будь сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивною ймовірності, визначеної на сигма-алгебри подій, породженої даної алгеброю подій.


Література