Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Алгебра над кільцем



План:


Введення

Нехай K \ displaystyle - Довільне коммутативное кільце з одиницею. Модуль A \ displaystyle над кільцем K \ displaystyle , В якому для заданого білінійної відображення

f: A \ times A \ rightarrow A

визначено твір згідно рівності

ab = f (a, b) \ displaystyle

називається алгеброю над K \ displaystyle або K \ displaystyle -Алгеброю.

Згідно з визначенням для всіх k, \; l \ in K і a \ displaystyle , b \ displaystyle , c \ in A справедливі співвідношення

  1. a (b + c) = ab + ac \ displaystyle
  2. (A + b) c = ac + bc \ displaystyle
  3. (K + l) a = ka + la \ displaystyle
  4. k (a + b) = ka + kb \ displaystyle
  5. k (la) = (kl) a \ displaystyle
  6. k (ab) = (ka) b = a (kb) \ displaystyle
  7. 1a = a \ displaystyle , Де 1 \ displaystyle - Одиниця кільця K \ displaystyle

Неважко переконатися, що відносно операцій додавання і множення алгебра є кільцем.

Для a \ displaystyle , b \ in A комутатор визначено рівністю

[A, b] = ab-ba \ displaystyle

K \ displaystyle -Алгебра називається комутативної, якщо

[A, b] = 0 \ displaystyle

Для a \ displaystyle , b \ displaystyle , c \ in A ассоціатор визначено рівністю

(A, b, c) = (ab) c-a (bc) \ displaystyle

K \ displaystyle -Алгебра називається асоціативної, якщо

(A, b, c) = 0 \ displaystyle

Якщо існує елемент e \ in A \ displaystyle такий, що ea = ae = a \ displaystyle для всіх a \ in A , То e \ displaystyle називається одиницею алгебри A \ displaystyle , А сама алгебра називається алгеброю з одиницею.

Іноді алгебра визначається і над некомутативними кільцями, в цьому випадку замість умови 6 вимагають більш слабке:

k (ab) = (ka) b \ displaystyle

Будь-яке кільце можна вважати алгеброю над кільцем цілих чисел, якщо розуміти твір na \ displaystyle (Де n \ displaystyle - Ціле число) зазвичай, тобто як суму n \ displaystyle копій a \ displaystyle . Тому, кільця можна розглядати як окремий випадок алгебр.

Якщо замість білінійної відображення f \ displaystyle вибрати полілінейное відображення

g: A ^ n \ rightarrow A

і визначити твір відповідно до правила

a_1 ... a_n = g (a_1 ,..., a_n) \ displaystyle

то отримана алгебраїчна структура називається n \ displaystyle -Алгеброю.


1. Вільна алгебра

Якщо алгебра A \ displaystyle над комутативних кільцем K \ displaystyle є вільним модулем, то вона називається вільною алгеброю і має базис над кільцем K \ displaystyle . Якщо алгебра A \ displaystyle має кінцевий базис, то алгебра A \ displaystyle називається конечномерное.

Якщо K \ displaystyle є полем, то, за визначенням, K \ displaystyle -Алгебра є векторним простором над K \ displaystyle , А значить, має базис.

Базис скінченновимірних алгебр зазвичай позначають e_1 \ displaystyle , ..., e_n \ displaystyle . Якщо алгебра має одиницю e \ displaystyle , То зазвичай одиницю включають до складу базису і вважають e_0 = e \ displaystyle . Якщо алгебра має кінцевий базис, то твір в алгебрі легко відновити на підставі таблиць множення

e_ie_j = C ^ k_ {ij} e_k

А саме, якщо a = a ^ ke_k \ displaystyle , b = b ^ ke_k \ displaystyle , То твір можна представити у вигляді

ab = C ^ k_ {ij} a ^ ib ^ je_k

Величини C ^ k_ {ij} \ in K називаються структурними константами алгебри A \ displaystyle .

Якщо алгебра коммутативна, то

C ^ k_ {ij} = C ^ k_ {ji}

Якщо алгебра асоціативна, то

C ^ k_ {ij} C ^ j_ {ml} = C ^ j_ {im} C ^ k_ {jl}

2. Властивості

  • З алгебри многочленів (від досить великого числа змінних) над полем K можна отримати, як гомоморфной образу, яку асоціативно-комутативну алгебру над K .

3. Відображення алгебри

Ми можемо розглядати алгебру A \ displaystyle над комутативних кільцем K \ displaystyle як модуль A \ displaystyle над комутативних кільцем K \ displaystyle . Відображення

f: A \ rightarrow B

алгебри A \ displaystyle над комутативних кільцем K \ displaystyle в алгебру B \ displaystyle над кільцем K \ displaystyle називається лінійним, якщо

f (a + b) = f (a) + f (b) \ displaystyle
f (ka) = kf (a) \ displaystyle

для будь-яких a \ displaystyle , b \ in A , k \ in K . Безліч лінійних відображень алгебри A \ displaystyle в алгебру B \ displaystyle позначається символом \ Mathcal L (A; B) .

Лінійне відображення

f: A \ rightarrow B

алгебри A \ displaystyle в алгебру B \ displaystyle називається гомоморфізмом, якщо

f (ab) = f (a) f (b) \ displaystyle

для будь-яких a \ displaystyle , b \ in A , А також виконано умову: якщо алгебри A \ displaystyle і B \ displaystyle мають одиницю, то

f (e_A) = e_B \ displaystyle

Безліч гомоморфізмом алгебри A \ displaystyle в алгебру B \ displaystyle позначається символом H (A; B) \ displaystyle .

Очевидно, що H (A; B) \ subseteq \ mathcal L (A; B) .


4. Приклади


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Модуль над кільцем
Над-Я
Над Канадою
Заєць над безоднею
Операції над множинами
Над прірвою в житі
Костшин-над-Одрою
Перемога над Сонцем
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru