Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аналітична геометрія



План:


Введення

Аналітична геометрія - розділ геометрії, в якому геометричні фігури та їх властивості досліджуються засобами алгебри.

В основі цього методу лежить так званий метод координат, вперше застосований Декартом. Кожному геометричному співвідношенню цей метод ставить у відповідність деяке рівняння, що зв'язує координати фігури або тіла.


1. Історична довідка

Ідея координат і рівняння кривої була не чужа ще древнім грекам. Архімед, і особливо Аполлоній Пергський, у своїх творах призводили так звані симптоми конічних перетинів, які в ряді випадків збігаються з нашими рівняннями. Однак далі справа не пішла - через невисокий рівень давньогрецької алгебри і слабкого інтересу до кривих, відмінним від прямої та кола.

В Європі першим використовував координатне зображення (для функції, що залежить від часу) Микола Орезмскій ( XIV століття), який називав координати, за аналогією з географічними, довготою і широтою. До цього часу розвинене поняття про координати вже існувало в астрономії та географії.

Вирішальний крок був зроблений після того, як Вієт ( XVI століття) сконструював символічну мову для запису рівнянь і поклав початок системної алгебри.

Близько 1637 Ферма поширює через Мерсенна мемуар "Вступ до вивчення плоских і тілесних місць", де виписує і обговорює (у символіці Вієта) рівняння різних кривих 2-го порядку в прямокутних координатах. Для спрощення виду рівнянь широко використовується перетворення координат. Ферма наочно показує, наскільки новий підхід простіше і пліднішим чисто геометричного. Однак мемуар Ферма широкою популярністю не користувався. Набагато більший вплив мала "Геометрія" Декарта, що вийшла в тому ж 1637, яка незалежно і набагато більш повно розвивала ті ж ідеї.

Декарт включає в геометрію більш широкий клас кривих, в тому числі "механічні" (трансцендентні, начебто спіралі), і проголошує, що у кожної кривої є визначальне рівняння. Він будує такі рівняння для алгебраїчних кривих, проводить їх класифікацію (пізніше грунтовно перероблену Ньютоном). Декарт підкреслює, хоча і не доводить, що основні характеристики кривої не залежать від вибору системи координат.

Система координат у Декарта була перевернута у порівнянні з сучасною (вісь ординат горизонтальна), і негативні координати не розглядалися. Терміни " абсциса "і" ордината "зрідка зустрічаються в різних авторів, хоча в широке вживання їх ввів тільки Лейбніц в кінці XVII століття, разом з терміном " координати ". Назва" Аналітична геометрія "утвердилось в самому кінці XVIII століття.

Декарт помістив в "Геометрія" безліч прикладів, що ілюструють величезну міць нового методу, і отримує чимало результатів, невідомих древнім. Можливі просторові застосування він згадує, але не приводить.

Аналітичний метод Декарта негайно взяли на озброєння Схоотен, Валліс і багато інших видатних математики. Вони коментували "Геометрія", виправляли її недоліки, застосовували новий метод в інших завданнях. Наприклад, Валліс вперше розглядає конічні перетину як плоскі криві ( 1655), причому вже використовує негативні абсциси і косокутні координати.

Ньютон не тільки спирався на координатний метод у своїх роботах з аналізу, а й продовжив геометричні дослідження Декарта. Він класифікував криві 3-го порядку, виділивши 4 типи і 58 видів; пізніше він додав ще 14. Ці результати були отримані близько 1668, опубліковані разом з його "Оптикою" в 1704.

Система координат Ньютона вже нічим не відрізняється від сучасної. Для кожної кривої визначаються діаметр, вісь симетрії, вершини, центр, асимптоти, особливі точки і т. п.

В "Засадах" Ньютон намагався все доводити в манері древніх, без координат і нескінченно малих, а проте кілька застосувань нових методів там усе ж є. Набагато більшу роль аналітична геометрія відіграє в його "Загальної арифметики". У більшості випадків він не вважав за потрібне навести докази, чим забезпечив роботою на довгі роки цілу армію коментаторів.

У першій половині XVIII століття в основному тривало вивчення алгебраїчних кривих вищих порядків; Стірлінг виявив 4 нових типу, не помічених Ньютоном. Були виявлені і класифіковані особливі точки.

Клеро в 1729 представив Паризької академії "Дослідження про криві двоякою кривизни". Ця книга по суті поклала початок трьом геометричним дисциплін: аналітичної геометрії в просторі, диференціальної геометрії і нарисної геометрії.

Загальну і дуже змістовну теорію кривих і поверхонь (переважно алгебраїчних) запропонував Ейлер. У своєму "Вступі в аналіз нескінченно малих" ( 1748) він дав класифікацію кривих 4-го порядку і показав, як визначити радіус кривизни. Там, де це зручно, використовуються косокутні або полярні координати. Окрема глава присвячена неалгебраіческім кривим.

У другій половині XVIII століття аналітична геометрія, отримавши потужну підтримку зрілого аналізу, завоювала нові вершини ( Ейлер, Лагранж, Монж), проте розглядається вже скоріше як апарат диференціальної геометрії.


2. Розділи

Основні розділи аналітичної геометрії


Література

  • Бортаковскій А. С., Пантелєєв А. В. Аналітична геометрія в прикладах і завданнях: Учеб. посібник. - М.: Вища. шк., 2005. - 496 с. (Серія "Прикладна математика").
  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія - М .: Физматлит, 2002. - 240 с.
  • Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М .: Наука.
Портал "Наука"
Портал "Математика" | Категорія "Математика"

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аналітична психологія
Аналітична функція
Аналітична крива
Аналітична філософія
Аналітична хімія
Маскування (аналітична хімія)
Аналітична механіка (книга Лагранжа)
Геометрія
Замикання (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru