Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Аналітична функція



Аналітична функція (дійсного змінного) - функція, яка збігається зі своїм поруч Тейлора в околиці будь-якої точки області визначення.

Однозначна функція f називається аналітичної в точці z 0 , Якщо звуження функції f на деяку околиця z 0 є аналітичною функцією. Якщо функція аналітична в точці z 0 , Вона аналітична в кожній точці деякої околиці точки z 0 .

Аналітична функція (комплексного змінного) - функція комплексного змінного f (z) = u (z) + i v (z) (Де u (z) і v (z) - Вещественнозначние функції комплексного змінного, що є, відповідно, і уявною частиною даної функції), для якої в деякій області A \ subset \ mathbb C , Званої областю аналітичності, виконується одна з трьох рівносильних умов:

  1. Для і уявною частини цієї функції в кожній точці z = x + iy \ in A виконуються умови Коші - Рімана (аналітичність в сенсі Коші - Рімана);
  2. Ряд Тейлора функції в кожній точці z \ in A сходиться і його сума дорівнює f (z) (Аналітичність в сенсі Вейерштраса);
  3. Інтеграл \ Int \ limits_ \ Gamma \, f (z) \, dz = 0 для будь-якої замкнутої кривої \ Gamma \ subset A (Аналітичність в сенсі Коші)

У курсі комплексного аналізу доводиться еквівалентність трьох визначень.


Властивості

  • Арифметичні властивості

Якщо f (z) і g (z) аналітичне в області G \ subset \ mathbb C

  1. Опції f (z) \ pm g (z) , f (z) \ cdot g (z) і f (g (z)) \, аналітичне в G .
  2. Якщо g (z) в області G не звертається в нуль, то \ Frac {f (z)} {g (z)} буде аналітична в G
  3. Якщо f '(z) в області G не звертається в нуль, то f - 1 (z) буде аналітична в G .
  • Аналітична функція нескінченно диференційована в своїй області аналітичності. Зворотне в загальному випадку невірно.

Деякі властивості аналітичних функцій близькі до властивостей многочленів, що, втім, і не дивно - визначення аналітичності в сенсі Вейерштраса свідчить про те, що аналітичні функції - в деякому роді граничні варіанти многочленів. Припустимо, згідно основний теоремі алгебри будь многочлен може мати нулів числом не більше його ступеня. Для аналітичних функцій справедливо аналогічне твердження, що випливає з теореми єдиності в альтернативній формі:

  • Якщо безліч нулів аналітичної в однозв'язна області функції має в цій області граничну точку, то функція тотожно дорівнює нулю.

Приклади

Все многочлени є аналітичними функціями у всій площині \ Mathbb C . Далі, аналітичними (правда, в більшості випадків в якихось певних областях) є елементарні функції.

Але:

  1. Функція f (z) = | z | не є аналітичною в \ Mathbb C , Так як вона не має похідної в точці z = 0 .
  2. Функція f (z) = \ overline {z} не є аналітичною з тих же міркувань. Однак її звуження на речову вісь буде аналітичною функцією, так як воно буде збігатися зі звуженням функції f (z) = z .

Література

  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз - М .: Наука, 1969. - 577 с.
  • Тітчмарш Є. Теорія функцій: Пер. з англ - 2-е изд., перераб. - М .: Наука, 1980. - 464 с.
  • Привалов І. І. Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи - М.-Л.: Державне видавництво, 1927. - 316 с.
  • Євграфов М. А. Аналітичні функції - 2-е изд., Перераб. і дополн. - М .: Наука, 1968. - 472 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аналітична хімія
Аналітична філософія
Аналітична психологія
Аналітична геометрія
Аналітична крива
Маскування (аналітична хімія)
Аналітична механіка (книга Лагранжа)
Функція
θ-функція
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru