Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Арифметична функція



План:


Введення

Арифметична функція - функція, визначена на безлічі натуральних чисел \ Mathbb {N} , І приймаюча значення у безлічі комплексних чисел \ Mathbb {C} .


1. Визначення

Як випливає з визначення, арифметичної функцією називається будь-яка функція

f \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {C}

Назва арифметична функція пов'язано з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій ~ F (n) натурального аргументу ~ N , Які висловлюють ті чи інші арифметичні властивості ~ N . Тому, неформально кажучи, під арифметичної функцією розуміють функцію ~ F (n) , Яка "виражає деяке арифметичне властивість" натурального числа ~ N (Див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичні функції, що розглядаються в теорії чисел, насправді є целозначнимі.


2. Операції та пов'язані поняття

  • Сумою арифметичної функції f називають функцію F: [0, + \ infty) \ to \ C , Визначену як
F (x) = \ sum_ {n \ le x} f (n).

Ця операція є "дискретним аналогом" невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на \ N , Її суму виявляється зручним вважати визначеної на всій позитивній півосі (при цьому вона, природно, кусочно-постійна).

  • Сверткой Дирихле (англ.) двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом
h (n) = Σ f (d) g (n / d).
d | n
  • Арифметичної функції f можна зіставити її "виробляє функцію" - ряд Діріхле
Φ f (s) = Σ f (n) n - s.
n

При цьому згортку Дирихле двох арифметичних функцій відповідає твір їх виробляють функцій.

  • Поточечное множення на логарифм,
f \ mapsto f ', \ quad f' (n) = f (n) \ cdot \ ln n,

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: щодо згортки воно задовольняє правилу Лейбніца,

(F * g) '= f' * g + f * g '.

Перехід до виробляючої функції перетворює цю операцію в звичайне диференціювання.


3. Відомі арифметичні функції

3.1. Кількість дільників

Арифметична функція ~ \ Tau \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} визначається як число позитивних дільників натурального числа ~ N :

~ \ Tau (n) = \ sum_ {d | n} 1

Якщо ~ M і ~ Nвзаємно прості, то кожен дільник твори ~ Mn може бути єдиним чином представлений у вигляді добутку дільників ~ M і ~ N , І назад, кожне таке твір є дільником ~ Mn . Звідси випливає, що функція ~ \ Tauмультипликативна :

~ \ Tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n)

Якщо ~ N = \ prod_ {i = 1} ^ {r} p_i ^ {s_i} - канонічне розкладання натурального ~ N , То в силу мультипликативности

~ \ Tau (n) = \ tau (p_1 ^ {s_1}) \ tau (p_2 ^ {s_2}) \ ldots \ tau (p_r ^ {s_r})

Так як позитивними дільниками числа p_i ^ {s_i} є ~ S_i +1 чисел 1, p_i, \ ldots, p_i ^ {s_i} , То

~ \ Tau (n) = (s_1 +1) (s_2 +1) \ ldots (s_r +1)

3.2. Сума дільників

Функція \ Sigma \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} визначається як сума дільників натурального числа ~ N :

~ \ Sigma (n) = \ sum_ {d | n} d

Узагальнюючи функції ~ \ Tau (n) і ~ \ Sigma (n) для довільного, взагалі кажучи комплексного, ~ K можна визначити ~ \ Sigma_k (n) - Суму k -Их ступенів позитивних дільників натурального числа ~ N :

~ \ Sigma_k (n) = \ sum_ {d | n} d ^ k

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати

~ \ Sigma_k (n) = \ sum_ {d} d ^ k [\, d | n \,]

Функція ~ \ Sigma_k мультипликативна:

m \ perp n \ Rightarrow ~ \ sigma_k (mn) = \ sigma_k (m) \ sigma_k (n)

Якщо ~ N = \ prod_ {i = 1} ^ {r} p_i ^ {s_i} - Канонічне розкладання натурального ~ N , То

~ \ Sigma_k (n) = \ prod_ {i = 1} ^ r \ frac {p_i ^ {(s_i +1) k} -1} {p_i - 1}



3.3. Функція Ейлера

Функція Ейлера φ (n) , Або тотіента, визначається як кількість позитивних цілих чисел, не переважаючих ~ N , Які взаємно прості з ~ N .

Користуючись нотацією Айверсона можна записати:

\ Varphi (n) = \ sum_ {1 \ leq k \ leq n} [k \ perp n]

Функція Ейлера мультипликативна:

m \ perp n \ Rightarrow ~ \ varphi (mn) = \ varphi (m) \ varphi (n)

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

\ Varphi (n) = n \ left (1 - \ frac {1} {p_1} \ right) \ left (1 - \ frac {1} {p_2} \ right) \ dots \ left (1 - \ frac {1 } {p_r} \ right)

де p_1, p_2, \ ldots, p_r - Різні прості дільники ~ N .


3.4. Функція Мебіуса

Функцію Мебіуса ~ \ Mu (n) можна визначити як арифметичну функцію, яка задовольняє наступному співвідношенню:

\ Sum_ {d | n} \ mu (d) = \ begin {cases} 1, & n = 1 \ \ 0, & n> 1 \ end {cases}

Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх делителям цілого позитивного числа ~ N дорівнює нулю, якщо ~ N> 1 , І дорівнює ~ 1 , Якщо ~ N = 1 .

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:

\ Mu (n) = \ begin {cases} (-1) ^ r, & n = p_1 p_2 \ ldots p_r \ \ 0, & p ^ 2 | n \ \ 1, & n = 1 \ end {cases}

Тут p i - Різні прості числа, p - Просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса μ (n) дорівнює 0 , Якщо n не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і дорівнює ~ \ Pm 1 у противному випадку (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників ~ N ).

Функція Мебіуса є мультиплікативної функцією. Важливе значення функції Мебіуса в теорії чисел пов'язане з формулою звернення Мебіуса.


Література

  • Чандрасекхаран К. Введення в аналітичну теорію чисел = Introduction to Analytic Number Theory - М .: "Мир", 1974. - 188 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Арифметична прогресія
R-функція
Функція
θ-функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Ландау
Функція Аккермана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru