Атомарна функція

Атомарна функція [1] - фінітних рішення функціонально-диференціального рівняння виду

Ly (x) = \ sum_ {k = 1} ^ {M} {c_ {k} y (ax-b_ {k})},

де L \; - Лінійний диференціальний оператор з постійними коефіцієнтами; коефіцієнти a, b_ {k}, c_ {k} \ in \ mathbb {R} , Причому | A | \;> \; 1 .


1. Атомарна функція up (x)

Найпростіша атомарна функція \ Mathrm {up} (x) \; є фінітним нескінченно-диференційовних рішенням функціонально-диференціального рівняння

\ Frac {1} {2} y '(x) = y (2x +1)-y (2x-1) \;

з носієм \ Mathrm {supp} \; \ mathrm {up} (x) = (-1,1).

Атомарна функція \ Mathrm {up} (x) і її похідна.

Перетворення Фур'є \ Mathrm {up} (x) \; має вигляд

\ Hat {\ mathrm {up}} (t) = \ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {sinc} {\ frac {t} {2 ^ k}},

де \ Mathrm {sinc} = \ sin {x} / x \; - sinc-функція.

Функція \ Mathrm {up} (x) \; - Парна, зростає на інтервалі [-1, \; 0] , Убуває на інтервалі [0, \; 1] і обмежує одиничну площу. Крім того, \ Mathrm {up} (1-x) = 1 - \ mathrm {up} (x) \; при x \ in \; [0,1] . Таким чином, цілочисельні зрушення \ Mathrm {up} (x) \; утворюють наступне розбиття одиниці :

\ Sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} {\ mathrm {up} (xj)} \ equiv 1.

Значення \ Mathrm {up} (x) \; в двійково-раціональних точках виду 2 ^ {-n} k \; - раціональні числа. Функція \ Mathrm {up} (x) \; неаналітічна ні в одній точці свого носія. Для її обчислення можна використовувати ряд Тейлора, а існують бистросходящіеся ряди спеціального вигляду. Використовуються також розкладання \ Mathrm {up} (x) \; в ряд Фур'є, ряди по поліномами Лежандра, Бернштейна та ін

Атомарні функції нескінченно дробимістю, тобто представимо у вигляді лінійної комбінації зрушень-стиснень фінітних функцій з довільною довжиною носія (дрібних компонент), і можуть розглядатися як аналоги B-сплайнів нескінченної гладкості, а також ідейні попередники вейвлетів. Хороші Апроксимативні властивості функції \ Mathrm {up} (x) \; засновані на тому факті, що за допомогою лінійної комбінації зрушень-стиснень \ Mathrm {up} (x) \; можна представити алгебраїчний многочлен будь-якого ступеня.


2. Атомарні функції h a (x), вчинені сплайни

Атомарні функції \ Mathrm {h} _a (x) \; (При a> 1 \; ) Є узагальненням функції \ Mathrm {up} (x) \; . Відповідні функціонально-диференціальні рівняння мають вигляд:

\ Frac {2} {a ^ 2} y '(x) = y (ax +1)-y (ax-1). \;

Таким чином, \ Mathrm {up} (x) \; \ equiv \; \ mathrm {h} _2 (x).Перетворення Фур'є \ Mathrm {h} _a (x) \; має вигляд

\ Hat {\ mathrm {h} _a} (t) = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {sinc} {\ frac {t} {a ^ n}},

отже, функції \ Mathrm {h} _a (x) \; є бесконечнократние згортки характеристичних функцій інтервалів ( прямокутних функцій), ширини яких убувають в геометричній прогресії. Якщо в останньому виразі обмежитися кінцевим числом членів M \;нескінченного твори, отримаємо перетворення Фур'є скоєних сплайнів \ Mathrm {h} _ {a, M} (x) \; з рекурентним функціонально-диференціальних виразом

\ Frac {2} {a ^ 2} \ mathrm {h} '_ {a, M} (x) = \ mathrm {h} _ {a, M-1} (ax +1) - \ mathrm {h} _ {a, M-1} (ax-1). \;

3. Узагальнена теорема Котельникова

Нулі перетворень Фур'є функцій \ Mathrm {h} _a (x) \; розташовані регулярним чином в точках a \ pi n \;(N \ neq 0) . У зв'язку з цим будь-яку безперервну функцію f (x) \; з фінітним спектром (\ Mathrm {supp} \ hat {f} = [- \ Omega, \ Omega]) можна розкласти в ряд

де a> 2, \; 0 <\ Delta \ leq \ pi (a-2) / \ Omega (a-1).

Дана формула узагальнює відому теорему Котельникова, і була запропонована Є. Г. Зелкіним, В. Ф. Кравченко і М. А. Басарабом [2].


4. Історія та розвиток

Атомарні функції вперше були введені в роботі [3]. Обставини появи функції \ Mathrm {up} (x) \; пов'язані з проблемою, поставленої В. Л. Рвачевим і вирішеною В. А. Рвачевим: знайти фінітних диференційовних функцій, що має колоколообразний вигляд, таку, що її похідна буде складена, в свою чергу, з двох колоколообразной функцій, кожна з яких представляє собою зрушену і стислу копію вихідної функції з точністю до масштабного коефіцієнта.

Огляд ранніх робіт з теорії атомарних функцій наведено в [4]. В даний час атомарні функції знаходять широке застосування в теорії апроксимації, чисельному аналізі, цифровій обробці сигналів, вейвлет-аналізі та інших областях. Великий цикл робіт з теорії та застосуванням атомарних функцій в різних фізичних додатках опублікований В. Ф. Кравченко і представниками його наукової школи [5] [6] [7] [8] [9].


Примітки

  1. Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Некласичні методи теорії наближень в крайових задачах. - Київ: Наукова думка, 1979.
  2. Зелкін Є. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Інтерполяція сигналів з фінітним спектром за допомогою перетворень Фур'є атомарних функцій та її застосування в задачах синтезу антен / / Радіотехніка та електроніка, 2002, т. 47, № 4, с. 461-468.
  3. Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Про одну фінітних функції / / ДАН УРСР, сер. А., 1971, с. 705-707.
  4. Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. та ін Теорія R-функцій та актуальні проблеми прикладної математики. Глава 2. - Київ: Наукова думка, 1986. С. 45-65.
  5. Кравченко В. Ф. Лекції з теорії атомарних функцій і деяким їх застосункам. - М.: Радіотехніка, 2003.
  6. Басараб М. А., Зелкін Є. Г., Кравченко В. Ф., Яковлєв В. П. Цифрова обробка сигналів на основі теореми Уїттекером-Котельникова-Шеннона. - М.: Радіотехніка, 2004.
  7. Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логіки, атомарні функції та вейвлети в фізичних додатках. - М.: Физматлит, 2006.
  8. Цифрова обробка сигналів та зображень в радіофізичних додатках / Под ред. В. Ф. Кравченко. - М.: Физматлит, 2007.
  9. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвєєв В. А. Методи моделювання та цифрової обробки сигналів в гіроскопії. - М.: Физматлит, 2008.