Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Афінний перетворення



План:


Введення

Афінний перетворення - відображення f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} , Яке можна записати у вигляді

f (x) = M \ cdot x + v,

де ~ M - оборотна матриця і v \ in \ mathbb {R} ^ {n} .

Інакше кажучи, перетворення називається аффінним, якщо його можна отримати наступним чином:

  1. Вибрати "новий" базис простору з "новим" початком координат ~ V ;
  2. Кожній точці x простору поставити у відповідність точку f (x) , Що має ті ж координати щодо "нової" системи координат, що і x в "старій".

1. Властивості

  • При афінному перетворенні пряма переходить в пряму.
    • Якщо розмірність простору {N} \ ge 2 , То будь-яке перетворення простору (тобто біекція простору на себе), яке переводить прямі в прямі, є аффінним. Це визначення використовується в аксіоматичному побудові афінної геометрії
  • Окремим випадком афінних перетворень є руху і перетворення подібності.
  • Афінний перетворення утворюють групу щодо композиції.
  • Будь-які три точки, що не лежать на одній прямій і їх образи відповідно (можуть лежати на одній прямій) однозначно задають Афінний перетворення площині.

2. Типи афінних перетворень

  • Еквіаффінное перетворення - Афінний перетворення, що зберігає площа (також, зберігається афінна довжина).
  • Центроаффінное перетворення - Афінний перетворення, що зберігає початок координат.

3. Матричне подання

Як і інші проективні перетворення, Афінний перетворення f (x) = M \ cdot x + v можна записати як матрицю переходу в однорідних координатах :

\ Begin {pmatrix} f (x) \ \ 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} M & v \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \ \ 1 \ end {pmatrix}

Матричне подання використовується, зокрема, для запису афінних перетворень в комп'ютерній графіці. Зазначена вище форма використовується в OpenGL [1]; в DirectX (де координати подаються у вигляді матриць 1 4) вона транспонувати [2].


4. Варіації і узагальнення

  • У наведеному вище визначенні аффинного перетворення можна використовувати будь- полі, а не тільки поле дійсних чисел \ Mathbb {R} .
  • Відображення між метричними просторами називається аффінним, якщо воно переводить геодезичні в геодезичні (з урахуванням параметризації).
  • Афінний перетворення простору \ Mathbb {R} ^ {n} є підмножиною проективних перетворень того ж простору. У свою чергу, проективні перетворення простору \ Mathbb {R} ^ {n} можна представити як аффінниє перетворення простору \ Mathbb {R} ^ {n +1} .

Примітки

  1. OpenGL Transformation - www.songho.ca / opengl / gl_transform.html (Англ.) . Фотогалерея - www.webcitation.org/6194Tly97 з першоджерела 23 серпня 2011.
  2. Transforms (Direct3D 9) - msdn.microsoft.com/en-us/library/bb206269 (VS.85). aspx (Англ.) . Фотогалерея - www.webcitation.org/6194UOzaj з першоджерела 23 серпня 2011.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Афінний простір
Z-перетворення
Проективне перетворення
Схема перетворення
Перетворення Мебіуса
Перетворення Гільберта
Дуальне перетворення
Вейвлет-перетворення
Перетворення Радона
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru