Багатозначне відображення

Багатозначне відображення - різновид математичного поняття відображення ( функції). Нехай X \, і Y \, - Довільні множини, а 2 ^ Y \, - Сукупність всіх підмножин безлічі \, Y. Багатозначним відображенням з безлічі X \, в Y \, називається всяке відображення F: \ X \ to 2 ^ Y. Зазвичай областю визначення багатозначного відображення F \, є підмножина X \ subset \ mathbb {R} ^ n , А областю значень - простір \ Omega (Y) \ subset 2 ^ Y, складається з непустих компактних підмножин множини Y \ subset \ mathbb {R} ^ m, тобто F: X \ to \ Omega (Y).

  • Приклад 1. Нехай X = Y = \ mathbb {R} . Ставлячи у відповідність кожному значенню x \ in X відрізок [- | X |, \, | x |], ми отримуємо багатозначне відображення F: \ mathbb {R} \ to \ Omega (\ mathbb {R}).
  • Приклад 2. Нехай f: [0,1] \ to \ mathbb {R} - Безперервна функція. Покладемо X = [\ min f, + \ infty) і \, Y = [0,1]. Ставлячи у відповідність кожному значенню x \ in X безліч M (x) = \ {y \ in [0,1]: f (y) \ le x \}, ми отримуємо багатозначне відображення F: X \ to \ Omega (Y).

Багатозначні відображення знаходять застосування в різних галузях математики: негладко і опуклому аналізі, теорії диференціальних рівнянь, теорії управління, теорії ігор та математичної економіці.


Пов'язані визначення і властивості

1. Простір \ Omega (\ mathbb {R} ^ m) є метричним з метрикою Хаусдорфа. Це дозволяє ввести поняття безперервного багатозначного відображення.

2. Розглядаючи для кожного x \ in \ mathbb {R} ^ nопорну функцію безлічі F (x) \ in \ Omega (\ mathbb {R} ^ m), ми отримаємо вещественнозначную функцію \, C (F (x), \ psi) від двох аргументів: x \ in \ mathbb {R} ^ n і \ Psi \ in (\ mathbb {R} ^ n) ^ * , Де зірочка означає поєднане простір.

3. Багатозначне відображення \, F безперервно тоді і тільки тоді, коли його опорна функція \, C (F (x), \ psi) неперервна за змінною \, X для кожного фіксованого \, \ Psi .

4. Багатозначне відображення називається вимірним, якщо його опорна функція \, C (F (x), \ psi)вимірно по змінній \, X для кожного фіксованого \, \ Psi .

5. Однозначної гілкою або селектором багатозначного відображення F: \ mathbb {R} ^ n \ to \ Omega (\ mathbb {R} ^ m) називається така функція f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m, що f (x) \ in F (x) для будь-якого x \ in \ mathbb {R} ^ n.

6. Лемма Філіппова : у будь-якого вимірного багатозначного відображення існує вимірний селектор. Лемма Філіппова має численні додатки. Зокрема, вона дозволяє встановити існування оптимального керування для широкого класу задач в теорії керованих систем.

7. Багатозначне відображення F: X \ to \ Omega (Y) називається напівбеззупинним зверху (по включенню) у точці x_0 \ in X , Якщо для будь-який околиці безлічі \, F (x_0) \ in \ Omega (Y) (Позначимо її \, V (F (x_0)) ) Існує така околиця точки x_0 \ in X (Позначимо її \, U (x_0) ), Що F (x) \ subset V (F (x_0)) для будь-якого x \ in U (x_0). Багатозначне відображення F: X \ to \ Omega (Y) називається напівбеззупинним зверху (по включенню), якщо воно є напівбеззупинним зверху в кожній точці x \ in X. Безперервне багатозначне відображення (визначення за допомогою метрики Хаусдорфа) є напівбеззупинним зверху.

8. Теорема Какутані : Нехай X \ subset \ mathbb {R} ^ n - Непорожня, компактне, опукле підмножина і багатозначне відображення F: X \ to \ Omega (X) має своїми значеннями компактні, опуклі множини і є напівбеззупинним зверху по включенню. Тоді відображення \, F має нерухому точку x_ * \ in X, тобто x_ * \ in F (x_ *). Теорема Какутані має численні додатки в теорії ігор. Зокрема, з її допомогою легко виходить доказ фундаментального результату теорії ігор - теореми Неша про існування рівноваги в безкоаліційний грі.


Література

  • Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мишкіс А. Д., Обухівський В. В. Введення в теорію багатозначних відображень і диференціальних включень, - Будь-яке видання.
  • Благодатского В. І. Введення в оптимальне управління, - Вища школа, Москва, 2001.
  • Благодатского В. І., Філіппов А. Ф. Диференціальні включення і оптимальне керування, - Тр. МИАН, т.169 (1985).
  • Іоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теорія екстремальних задач, - Физматлит, Москва, 1974.
  • Пшеничний Б. Н. Опуклий аналіз та екстремальні задачі, - Наука, Москва, 1980.
  • Воробйов М. М. Основи теорії ігор. Безкоаліційний гри, - Наука, Москва, 1984.