Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безліч



План:


Введення

Множина - одне з ключових понять математики, зокрема, теорії множин і логіки.

Поняття множини звичайно приймається за одне з вихідних ( аксіоматичних) понять, тобто не зводиться до інших понять, а значить і не має визначення. Проте, можна дати опис множини, наприклад у формулюванні Георга Кантора :

Під "безліччю" ми розуміємо з'єднання в якесь ціле M певних добре помітних предметів m нашого споглядання або нашого мислення (які будуть називатися "елементами" безлічі M).

Оригінальний текст (Нім.)

Unter einer, Menge 'verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die, Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.


- Георг Кантор, "До обгрунтування вчення про трансфінітних множинах"
( ньому. "Beitrge zur Begrndung der transfiniten Mengenlehre" ) [1]

A \ subset B
A \ cap B
A \ cup B
A \ setminus B

Інша формулювання належить Бертрану Расселлу : "Безліч є сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле". Також, можливо непряме визначення через аксіоми теорії множин.

В математичній логіці і дискретної математики часто вживається синонім безлічі - алфавіт.

Безліч може бути замкнутим і незамкнутим, повним і порожнім, упорядкованим і неврегульованим, рахунковим і незліченним, кінцевим і нескінченним. Більше того, як в наївною, так і у формальній теоріях множин будь-який об'єкт зазвичай вважається безліччю.


1. Історія теорії множин

До XIX століття математиками розглядалися в основному кінцеві множини.

Основи теорії кінцевих і нескінченних множин були закладені Бернардом Больцано, який сформулював деякі з її принципів.

З 1872 р. по 1897 р. (головним чином у 1872-1884 рр..) Георг Кантор опублікував ряд праць, в яких були систематично викладено основні розділи теорії множин, включаючи теорію точкових множин і теорію трансфінітних чисел (кардинальних і порядкових). У цих роботах він не тільки ввів основні поняття теорії множин, а й збагатив математику міркуваннями нового типу, які застосував для доказу теорем теорії множин, зокрема вперше до нескінченних множинам. Тому загальновизнано, що теорію множин створив Георг Кантор.

Зокрема Георг Кантор визначив безліч як "єдине ім'я для сукупності всіх об'єктів, що володіють даними властивістю". Ці об'єкти назвав елементами безлічі. Безліч об'єктів, що мають властивість A (x) , Позначив \ {X \ mid A (x) \} . Якщо деякий безліч Y = \ {x \ mid A (x) \} , То A (x) назвав характеристичним властивістю безлічі Y .

Ця концепція призвела до парадоксів, зокрема, до парадоксу Рассела.

Так як теорія множин, фактично, використовується як підстава і мову всіх сучасних математичних теорій в 1908 р. теорія множин була аксіоматізірована незалежно Бертраном Расселом і Ернстом Цермело. Надалі багато дослідників переглядали і змінювали обидві системи, в основному зберігаючи їх характер. До цих пір вони все ще відомі як теорія типів Рассела і теорія множин Цермело. В даний час, теорію множин Кантора прийнято називати наївною теорією множин, а новоспоруджену аксіоматичної теорією множин.

На сьогоднішній день, безліч визначається як модель, яка задовольняє аксіомам ZFC ( аксіоми Цермело - Френкеля з аксіомою вибору). При такому підході в деяких математичних теоріях виникають сукупності об'єктів, які не є множинами. Такі сукупності називаються класами (різних порядків).


2. Елемент безлічі

Об'єкти, з яких складається безліч, називають елементами безлічі або точками множини. Безлічі найчастіше позначають великими літерами латинського алфавіту, його елементи - маленькими. Якщо а - елемент множини А, то записують а ∈ А (А належить А). Якщо а не є елементом множини А, то записують а ∉ А (А не належить А). На відміну від мультимножини кожен елемент безлічі унікальний, і в множині не може бути двох ідентичних елементів: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}


3. Деякі види множин і подібних об'єктів

3.1. Спеціальні безлічі


3.2. Подібні об'єкти

  • Набір (зокрема, упорядкована пара) - сукупність кінцевого числа іменованих об'єктів. Записується всередині круглих або вугільних дужок, а елементи можуть повторюватися.
  • Мультімножество - безліч з кратними елементами.
  • Простір - безліч з деякою додатковою структурою.
  • Вектор - елемент лінійного простору, що містить кінцеве число елементів деякого поля в якості координат. Порядок має значення, елементи можуть повторюватися.
  • Послідовність - функція одного натурального змінного. Представляється як нескінченний набір елементів (не обов'язково різних), порядок яких має значення.
  • Нечітке безліч - математичний об'єкт, що представляє собою безліч, приналежність до якого є не ставлення, а функцію. Іншими словами, щодо елементів цієї множини можна говорити "в якій мірі" вони в нього входять, а не просто входять вони в нього чи ні.

3.3. За ієрархії

4. Відносини між множинами

Два безлічі A і B можуть вступати один з одним у різні відносини.

  • A включено в B , Якщо кожен елемент множини A належить також і множині B :
    A \ subseteq B \ Leftrightarrow \ forall a \ in A \ colon a \ in B
  • A включає B , Якщо B включено в A :
    A \ supseteq B \ Leftrightarrow B \ subseteq A
  • A одно B , Якщо A і B включені один в одного:
    A = B \ Leftrightarrow (A \ subseteq B) \ land (B \ subseteq A)
  • A строго включено в B , Якщо A включено в B , Але не дорівнює йому:
    A \ subset B \ Leftrightarrow (A \ subseteq B) \ land (A \ neq B)
  • A строго включає B , Якщо B строго включено в A :
    A \ supset B \ Leftrightarrow B \ subset A
  • A і B не перетинаються, якщо у них немає загальних елементів:
    A ~ і B ~ не перетинаються \ Leftrightarrow \ forall a \ in A \ colon a \ notin B
  • A і B знаходяться в загальному положенні, якщо існує елемент, що належить виключно безлічі A , Елемент, що належить виключно безлічі B , А також елемент, що належить обом множинам:
    A ~ і B ~ знаходяться в загальному положенні \ Leftrightarrow\ Exists a, b, c \ colon (a \ in A) \ land (a \ notin B) \ land (b \ in B) \ land (b \ notin A) \ land (c \ in A) \ land ( c \ in B)

5. Операції над множинами

Література

  • Столл Р. Р. Множини. Логіка. Аксіоматичні теорії. - М .: Просвещение, 1968. - 232 с.
  • Певзнер Л. Д., Чураков Є. П. Математичні основи теорії систем - М .: Вища. шк. , 2009. - 503 с: іл.

Примітки

  1. Російський переклад - Кантор Г. Праці з теорії множин - djvu.504.com1.ru: 8019/WWW/41cb0219576dddb31810560d20af5c2d.djvu - М .: Наука, 1985. - С. 173. .
    Німецький оригінал - Georg Cantor Beitrge Zur Begrndung Der transfiniten Mengenlehre - gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img /? PPN = PPN235181684_0046 & DMDID = dmdlog44 (Нім.) / / Mathematische Annalen. - 1895. - Т. 46. - С. 481.
Логіка
Формальна

Логічні операції з поняттями



Зміна змісту поняття : заперечення обмеження узагальнення поділ
Зміна обсягу поняття : додавання множення віднімання
Типи: Багатозначна логіка Бінарна логіка

Закони: Закон зворотного відношення між змістом і обсягом поняття
Математична
(Теоретична,
символічна)

Логічні зв'язки (операції) над висловлюваннями



Висловлювання - побудова над безліччю {B, \ Lnot , \ Land , \ Lor , 0, 1}
В - непорожня множина, над елементами якого визначені три операції : кон'юнкція ( \ Land або &, бінарна) диз'юнкція ( \ Lor , бінарна) заперечення ( \ Neg , унарна)

2 Константи : 0 1
Див також імплікація ( \ To ) Круги Ейлера Теорія множин


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Нескінченна безліч
Канторової безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
Безліч Мандельброта
Безліч Жюліа
Нечітке безліч
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru