Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безліч Віталі



Безліч Віталі - перший приклад безлічі дійсних чисел, що не має заходи Лебега. Цей приклад, що став класичним, опублікував в 1905 році італійський математик Дж. Віталі у своїй статті "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta".

Історія

Роком раніше статті Віталі, в 1904 році, Анрі Лебег опублікував "Лекції про інтегрування і відшуканні примітивних функцій", де виклав свою теорію заходи і висловив сподівання, що вона виявиться застосовна до будь-якого обмеженого безлічі дійсних чисел. Відкриття безлічі Віталі показало, що ця надія не виправдалася. Надалі були виявлені й інші контрприклади, проте їх побудова завжди суттєво спирається на аксіому вибору.


Побудова

Розглянемо наступне відношення еквівалентності ~ на відрізку [0, \; 1] : x ~ y якщо різниця x - y раціональна. Далі, з кожного класу еквівалентності виберемо по представнику - одній точці (тут ми користуємося аксіомою вибору). Тоді отримане безліч E представників буде незмірно.

Дійсно, якщо зрушити E рахункове число раз на всі раціональні числа з інтервалу [- 1,1] , То об'єднання буде містити весь відрізок [0,1], але при цьому воно буде міститися у відрізку [- 1,2] . При цьому "зсунуті копії" безлічі E не будуть перетинатися один з одним, що безпосередньо випливає з побудови ~ і E .

Припустимо, що E вимірно за Лебегом, тоді можливі 2 варіанти.

  • Міра E дорівнює нулю. Тоді міра інтервалу [0,1] , Як рахункового об'єднання множин заходи нуль, теж дорівнюватиме нулю.
  • Міра E більше нуля. Тоді аналогічно укладаємо, що міра інтервалу [0,1] , В силу лічильної аддитивности заходи Лебега, буде нескінченна.

В обох випадках виходить протиріччя. Таким чином, безліч Віта не вимірно за Лебегом.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Віталі, Джузеппе
Віталі, Іван Петрович
Пам'ятник Павлу I роботи Віталі
Безліч
Безліч
Замкнутий безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru