Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безліч Жюліа



План:


Введення

Безліч Жюліа. Точніше, це не саме безліч (яке в даному випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальовано), а точки з його околиці. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до безлічі Жюліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб піти від нуля на заданий велику відстань
Безліч Жюліа. Точніше, це не саме безліч (яке в даному випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальовано), а точки з його околиці. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до безлічі Жюліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб піти від нуля на заданий велику відстань
Заповнена безліч Жюліа для відображення f (z) = z 2 -1. Осьова симетрія свідчить про відсутність уявної складової у вільному члені відображення f (z)
Заповнена безліч Жюліа для відображення f (z) = z 2 +0,28 +0,0113 i. Завихрення проти годинникової стрілки свідчать про позитивну уявної складової у вільному члені відображення f (z)

В голоморфних динаміці, безліч Жюліа \, J (f) раціонального відображення f: \ C P ^ 1 \ to \ C P ^ 1 - Безліч точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка по відношенню до малих збурень початкового положення. У разі, якщо f - поліном, розглядають також заповнене безліч Жюліа - безліч точок, не прагнуть до нескінченності. Звичайне безліч Жюліа при цьому є його кордоном.

Безліч Фату F (f) \, - Додаток до безлічі Жюліа. Іншими словами, динаміка ітерірованія f на F (f) \, регулярна, а на J (f) \, хаотична.

Доповнює велику теорему Пікара про "поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої ​​точки".

Ці безлічі названі по іменах французьких математиків Гастона Жюліа і П'єра Фату, що поклали початок дослідженню голоморфних динаміки на початку XX століття.


1. Визначення

Нехай f: \ C P ^ 1 \ to \ C P ^ 1 - Раціональне відображення. Безліч Фату складається з точок z, таких, що в обмеженні на досить малу околиця z послідовність ітерацій

(F ^ n) _ {n \ in \ mathbb {N}}

утворює нормальне сімейство в сенсі Монтель. Безліч Жюліа - додаток до безлічі Фату.

Це визначення допускає наступну еквівалентну переформуліровка: безліч Фату це безліч тих точок, орбіти яких стійкі за Ляпуновим. (Еквівалентність переформуліровкі неочевидна, але вона випливає з теореми Монтель.)


2. Властивості

  • Як випливає з визначень, безліч Жюліа завжди замкнуто, а безліч Фату відкрито.
  • Безліч Жюліа для відображення ступеня, більшою 1, завжди непорожній (інакше можна було б вибрати рівномірно сходяться підпослідовність з ітерацій.) У відношенні ж безлічі Фату аналогічне твердження невірно: існують приклади, в яких безліч Жюліа виявляється всій сферою Рімана. Такий приклад можна побудувати, взявши відображення z \ mapsto 2z (mod \, \ Z [i]) подвоєння на торі \ C / \ Z [i] (Динаміка якого, очевидно, скрізь хаотична) і пропустивши його через \ Wp-Функцію Вейерштрасса \ Wp: \ C / \ Z [i] \ to \ C P ^ 1 .
  • Безліч Жюліа є замиканням об'єднання всіх відразливих періодичних орбіт.
  • Безлічі Фату і Жюліа обидва повністю інваріантні під дією f, тобто збігаються як зі своїм образом, так і з повним прообразом:
\ F ^ {-1} (J (f)) = f (J (f)) = J (f),
\ F ^ {-1} (F (f)) = f (F (f)) = F (f).
  • Безліч Жюліа J (F) є кордоном (повного) басейну тяжіння будь притягаючою або суперпрітягівающей орбіти; приватним випадком цього є твердження, що J (F) це межа заповненого безлічі Жюліа (оскільки для полиномиального відображення нескінченність - суперпрітягівающая нерухома точка, а заповнене безліч Жюліа є доповнення до її басейну тяжіння). Крім того, взявши полиномиальное відображення з трьома різними притягають нерухомими точками, отримуємо приклад трьох відкритих (природно, незв'язних) множин на площині з спільним кордоном.
  • Якщо відкрите безліч U перетинає безліч Жюліа, то, починаючи з деякого досить великого n, образ f ^ n (U \ cap J) = f ^ n (U) \ cap J збігається з усім безліччю Жюліа J . Іншими словами, ітерації розтягують як завгодно маленьку околиця в безлічі Жюліа на всі безліч Жюліа.
  • Оскільки вказане вище розтягнення найчастіше відбувається досить швидко, голоморфних відображення конформних, а безліч Жюліа інваріантно щодо динаміки - воно виявляється мають фрактальну структуру : його маленькі частини схожі на великі.
  • Якщо безліч Жюліа відмінно від усієї сфери Рімана, то воно не має внутрішніх точок.
  • Для всіх точок z сфери Рімана, крім, можливо, двох, безліч граничних точок послідовності повних прообразів f ^ {-n} (z) є безліч Жюліа. Ця властивість застосовується в комп'ютерних алгоритмах побудови безлічі Жюліа.
  • Теорема Саллівана стверджує, що будь-яка компонента зв'язності безлічі Фату предперіодічна. У свою чергу, теорема про класифікацію періодичних компонент безлічі Фату стверджує, що періодичні компоненти бувають одного з чотирьох типів: басейн притягання притягаючою або суперпрітягівающей нерухомою або періодичної точки, пелюстка Фату параболічної точки, диск Зигеля і кільце Ермана.

3. Пов'язані поняття

Квадратичне відображення z \ mapsto P_2 (z) заміною координат завжди наводиться до виду z \ mapsto z ^ 2 + c . Виявляється, що безліч Жюліа буде зв'язковим, якщо і тільки якщо критична точка z = 0 (або, що те ж саме, її образ z = c) не йде на нескінченність. У разі, якщо ітерації 0 прагнуть до нескінченності, безліч Жюліа (що збігається, в цьому випадку, з заповненим безліччю Жюліа) виявляється гомеоморфними Канторової безлічі і має міру нуль. У цьому випадку його називають пилом Фату (незважаючи на збиває з пантелику назва, це саме безліч Жюліа - безліч хаотичної динаміки!).

Безліч параметрів c, при яких безліч Жюліа квадратичної динаміки зв'язно, називається безліччю Мандельброта. Воно також має фрактальну структуру (і є, ймовірно, одним з найбільш знаменитих фракталів).


4. Чисельне побудова

4.1. Метод сканування кордону (BSM)

Якщо функція f має декілька атракторів (нерухомих або періодичних притягивающих точок), безліч Жюліа є кордоном басейну тяжіння будь-якого з них. На цій властивості заснований алгоритм побудови зображення безлічі Жюліа, названий "методом сканування кордону" (boundary scanning method, BSM). Він полягає в наступному. Розглянемо сітку з прямокутних пікселів. Щоб визначити, чи слід зафарбовувати піксель як належить безлічі Жюліа, обчислюється образ кожного з його "кутів" під дією великої кількості ітерацій f. Якщо образи далекі один від одного, значить, кути належать басейнам різних атракторів. З цього випливає, що межа між басейнами проходить через даний піксель, і він зафарбовується. Перебираючи всі пікселі, отримуємо зображення, наближає безліч Жюліа.

Цей метод також можна використовувати і в разі, коли двох атракторів немає, але є диски Зигеля, кільця Ермана або параболічні басейни. (Якщо дві близькі точки залишаються близькими, значить, їх орбіти стійкі за Ляпуновим, і невелика околиця цих точок належить області Фату; інакше поблизу них є точки безлічі Жюліа.) У той же час, даний метод не працює, коли відображення має лише один аттрактор , і майже вся сфера Рімана є його басейном тяжіння. (Наприклад, z \ mapsto z ^ 2 + i .) [1]


4.2. Метод обчислення обернених ітерацій (IIM)

Безліч Жюліа є замиканням об'єднання всіх повних прообразів будь відразливою нерухомої точки. Таким чином, якщо є ефективний алгоритм обчислення зворотного відображення f ^ {-1} , І відома хоча б одна відразлива нерухома точка, для побудови безлічі Жюліа можна послідовно обчислювати її зворотні образи. На кожному кроці в кожної точки є стільки ж прообразів, яка ступінь f, тому загальне число прообразів зростає експоненціально, і зберігання їх координат вимагає великих обсягів пам'яті. [1] На практиці також використовується наступна модифікація: на кожному кроці вибирається один випадковий прообраз. При цьому, однак, потрібно враховувати, що такий алгоритм обходить безліч Жюліа не рівномірно: в деякі області може потрапити тільки за дуже велику (практично недосяжне) час, і вони не будуть зображені на виходить графік.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безліч
Безліч
Досконале безліч
Нескінченна безліч
Канторової безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
Безліч Мандельброта
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru