Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безперервна функція



План:


Введення

Безперервна функція - функція без "стрибків", тобто така у якої малі зміни аргументу приводять до малих змінам значення відображення. Графік безперервної функції може бути накреслений "не відриваючи олівець від паперу".

Безперервна функція взагалі кажучи, - синонім поняття безперервне відображення, проте, найчастіше цей термін використовується в більш вузькому сенсі - для відображень між числовими просторами, наприклад, на речової прямої. Ця стаття присвячена саме безперервним функцій, визначених на підмножині дійсних чисел та приймаючих речові значення.


1. Визначення

1.1. ε-δ визначення

Continuidad de funciones 04.svg

Нехай D \ subset \ R і f: D \ to \ R .

Функція f неперервна в точці x_0 \ in D , Якщо для будь-якого \ Epsilon> 0 існує δ> 0 таке, що

x \ in D, \ | x-x_0 | <\ delta \ Rightarrow | f (x)-f (x_0) | <\ varepsilon.

Функція f неперервна на множині E , Якщо вона неперервна в кожній точці даної множини.

У цьому випадку говорять, що функція f класу C 0 і пишуть: f \ in C ^ 0 (E) або, докладніше, f \ in C ^ 0 (E, \ mathbb {R}) .


1.1.1. Коментарі

  • З визначення випливає, що функція неперервна в кожній ізольованою точці своєї області визначення.
  • Визначення безперервності фактично повторює визначення границі функції в даній точці. Іншими словами, функція f неперервна в точці x 0 , Граничної для безлічі E , Якщо f має межу в точці x 0 , І ця межа збігається зі значенням функції f (x 0) .
  • Функція неперервна в точці, якщо її коливання в даній точці дорівнює нулю.

2. Пов'язані визначення

2.1. Точки розриву

Якщо спробувати побудувати заперечення властивості безперервності функції в точці (граничної для області визначення), то вийде наступне. Існує така околиця значення функції в даній точці, що яким близько ми не підходили б до даного пункту, завжди можна буде знайти точку, значення в якій опиниться за межами заданої околиці.

У цьому випадку говорять, що функція f терпить розрив в точці a .

Continuidad de funciones 07.svg

Можливі два варіанти:

  • або межа функції існує, але він не збігається зі значенням функції в даній точці:
\ Lim \ limits_ {x \ to a} f (x) \ neq f (a).
тоді точка a називається точкою устранімим розриву функції f комплексному аналізі - переборна особлива точка). Поклавши f (a) = \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x), можна домогтися безперервності функції в цій точці. Така зміна значення функції в точці, що перетворює функцію в безперервну в цій точці, називається доопределения по безперервності.
  • або границі функції в даній точці не існує. У цьому випадку для числової функції, заданої на речовій прямий (або її підмножині), можливе існування односторонніх меж. Звідси виникає класифікація точок (неусувне) розриву:
    • якщо обидва односторонніх межі існують і кінцеві, але хоча б один з них відмінний від значення функції в даній точці, то таку точку називають точкою розриву першого роду;
    • якщо хоча б один з односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду.

Точка, в якій функція не визначена, буде точкою розриву функції лише за умови, якщо функція визначена, хоча б з одного боку поблизу цієї точки.


3. Властивості

3.1. Локальні

  • Функція, безперервна в точці a \, , Є обмеженою в деякій околиці цієї точки.
  • Якщо функція f \, неперервна в точці a \, і f (a)> 0 \, (Або \, F (a) <0 ), То f (x)> 0 \, (Або \, F (x) <0 ) Для всіх \, X , Досить близьких до \, A .
  • Якщо функції f \, і g \, безперервні в точці \, A , То функції f + g \, і f \ cdot g \, теж неперервні в точці \, A .
  • Якщо функції f \, і g \, безперервні в точці a \, і при цьому \, G (a) \ neq 0 , То функція f / g \, теж неперервна в точці \, A .
  • Якщо функція f \, неперервна в точці a \, і функція g \, неперервна в точці \, B = f (a) , То їх композиція \, H = g \ circ f неперервна в точці \, A .

3.2. Глобальні

  • Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному безлічі), рівномірно безупинна на ньому.
  • Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному безлічі), обмежена і досягає на ньому свої максимальне і мінімальне значення.
  • Областю значень функції f \, , Неперервної на відрізку \, [A, b] , Є відрізок \, [\ Min f, \ \ max f], де мінімум і максимум беруться по відрізку \, [A, b] .
  • Якщо функція f \, неперервна на відрізку \, [A, b] і \, F (a) \ cdot f (b) <0, то існує точка \ Xi \ in (a, b), в якій \, F (\ xi) = 0 .
  • Якщо функція f \, неперервна на відрізку \, [A, b] і число \ Varphi \, задовольняє нерівності \, F (a) <\ varphi <f (b) або нерівності \, F (a)> \ varphi> f (b), то існує точка \ Xi \ in (a, b), в якій \, F (\ xi) = \ varphi .
  • Безперервне відображення відрізка в речову пряму ін'ектівно в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна.
  • Монотонна функція на відрізку \, [A, b] неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями f (a) \, і \, F (b) .
  • Якщо функції f \, і g \, безупинні на відрізку \, [A, b] , Причому \, F (a) <g (a) і \, F (b)> g (b), то існує точка \ Xi \ in (a, b), в якій \, F (\ xi) = g (\ xi). Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке безперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

4. Приклади

4.1. Елементарні функції

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) безупинні скрізь у своїй області визначення.

4.2. Функція з устранімим розривом

Функція f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, задається формулою

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ sin x} {x}, & x \ neq 0 \ \ 0, & x = 0 \ end {cases}

неперервна в будь-якій точці x \ neq 0. Точка x = 0 є точкою устранімим розриву, бо межа функції

\ Lim \ limits_ {x \ to 0} f (x) = \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 \ neq 0 = f (0).

4.3. Функція знака

Функція

f (x) = \ sgn x = \ begin {cases} -1, & x <0 \ \ 0, & x = 0 \ \ 1, & x> 0 \ end {cases}, \ quad x \ in \ R

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці x \ neq 0 .

Точка x = 0 є точкою розриву першого роду, причому

\ Lim \ limits_ {x \ to 0 -} f (x) = -1 \ neq 1 = \ lim \ limits_ {x \ to 0 +} f (x) ,

в той час як у самій точці функція звертається в нуль.


4.4. Ступенева функція

Ступенева функція, що визначається як

f (x) = \ begin {cases} 1, & x \ geqslant 0 \ \ 0, & x <0 \ end {cases}, \ quad x \ in \ mathbb {R}

є всюди безперервною, крім точки x = 0 , Де функція терпить розрив першого роду. Тим не менш, в точці x = 0 існує правобічний межу, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, східчаста функція є прикладом безперервної справа функції на всій області визначення.

Аналогічно, східчаста функція, що визначається як

f (x) = \ begin {cases} 1, & x> 0 \ \ 0, & x \ leqslant 0 \ end {cases}, \ quad x \ in \ mathbb {R}

є прикладом безперервної зліва функції на всій області визначення.


4.5. Функція Діріхле

Функція

f (x) = \ begin {cases} 1, & x \ in \ mathbb {Q} \ \ 0, & x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} \ end {cases}

називається функцією Діріхле. По суті, функція Діріхле - це характеристична функція множини раціональних чисел. Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.


4.6. Функція Рімана

Функція

f (x) = \ begin {cases} \ frac {1} {n}, & x = \ frac {m} {n} \ in \ mathbb {Q}, \ (m, n) = 1 \ \ 0, & x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} \ end {cases}

називається функцією Рімана.

Ця функція є безперервною всюди в множині ірраціональних чисел ( \ Mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} ), Оскільки межа функції в кожній точці дорівнює нулю.

5. Варіації і узагальнення

5.1. Рівномірна безперервність

Функція f називається рівномірно неперервної на E , Якщо для будь-якого \ Epsilon> 0 існує δ> 0 таке, що | F (x 1) - f (x 2) | <ε для будь-яких двох точок x 1 і x 2 таких, що | X 1 - x 2 | <δ .

Кожна рівномірно безперервна на безлічі E функція, очевидно, є також і безупинної на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення - компакт, то безперервна функція виявляється також і рівномірно безупинної на даному відрізку.


5.2. Напівбезперервне

Існує два симетричні одна одній властивості - полунепреривного знизу і полунепреривного зверху:

  • функція f називається полунепреривного знизу в точці a , Якщо для будь-якого ε> 0 існує така околиця U E (a) , Що f (x)> f (a) - ε для всякого x \ in U_E (a) ;
  • функція f називається полунепреривного зверху в точці a , Якщо для будь-якого ε> 0 існує така околиця U E (a) , Що f (x) + ε для всякого x \ in U_E (a) .

Між безперервністю і полунепреривного є наступна зв'язок:

  • якщо взяти функцію f , Безперервну в точці a , І зменшити її значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівбезперервним знизу в точці a ;
  • якщо взяти функцію f , Безперервну в точці a , І збільшити її значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівбезперервним зверху в точці a .

Відповідно до цього можна допустити для напівбезперервним функцій нескінченні значення:

  • якщо f (a) =- \ infty , То будемо вважати таку функцію полунепреривного знизу в точці a ;
  • якщо f (a) = + \ infty , То будемо вважати таку функцію полунепреривного зверху в точці a .

5.3. Одностороння безперервність

Функція f називається односторонньо безперервної ліворуч (праворуч) у кожній точці x 0 її області визначення, якщо для одностороннього межі виконується рівність: f (x_0) = \ lim_ {x \ to x_0-} f (x) ( f (x_0) = \ lim_ {x \ to x_0 +} f (x) )

5.4. Безперервність майже всюди

На речової прямої зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція f така, що вона неперервна всюди на E , Крім, можливо, безлічі заходи нуль, то така функція називається безперервної майже всюди.

У тому випадку, коли безліч точок розриву функції не більше ніж лічильно, ми отримуємо клас інтегровних за Ріманом функцій (див. критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Література

  • Зорич В. А. Математичний аналіз, частина I - М .: Физматлит, 1984. - 544 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безперервна інтеграція
Безперервна дріб
Безперервна дріб
θ-функція
Функція
R-функція
Мероморфних функція
Функція Гріна
Функція Уолша
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru