Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безперервне відображення



План:


Введення

Безперервне відображення або безперервна функція - це таке відображення, у якого малі зміни аргументу приводять до малих змінам значення відображення.

Це поняття визначається трохи по-різному в різних розділах математики. Безперервні числові функції розглядаються в математичному аналізі. Деяким узагальненням безперервних функцій є безперервні відображення векторних просторів. Більш загальний нагода - безперервні функції, задані на метричних просторах. Зокрема, безперервними виявляються лінійні функції і лінійні оператори. Найбільш загальне визначення використовується в загальної топології.


1. Визначення

Нижче наводяться кілька визначень, кожне з яких є узагальненням попереднього.

1.1. Безперервна числова функція

Нехай, f \ colon \ mathbb {R} \ supset E \ to \ mathbb {R} . (Замість \ Mathbb {R} також допустимо використовувати \ Mathbb {C} .)

Функція f неперервна в точці a , Якщо для будь-якого числа \ Varepsilon> 0 знайдеться таке число δ> 0 , Що для всіх точок x \ in E умова | X - a | <δ тягне | F (x) - f (a) | <ε .

Іншими словами, функція f неперервна в точці a , Граничної для безлічі E , Якщо вона має межу в даній точці і ця межа збігається зі значенням функції в даній точці:

f \ in C (\ {a \}) \ Leftrightarrow \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) = f (a)

Функція f неперервна на множині E , Якщо вона неперервна в кожній точці даної множини. У цьому випадку говорять, що функція f класу C 0 і пишуть: f \ in C ^ 0 (E) або, докладніше, f \ in C ^ 0 (E, \ mathbb {R}) .


1.2. Безперервне відображення евклідових просторів

Нехай, f \ colon \ mathbb {R} ^ m \ supset E \ to \ mathbb {R} ^ n .

Функція f неперервна в точці a , Якщо для будь-якого числа \ Varepsilon> 0 знайдеться таке число δ> 0 , Що для всіх точок x \ in E умова \ | X-a \ | _m <\ delta тягне \ | F (x)-f (a) \ | _n <\ varepsilon , Де

\ | X \ | _k \ equiv \ sqrt {\ sum \ limits_ {i = 1} ^ k x_i ^ 2}, \ quad x = (x_1, \ ldots, x_k) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R } ^ k

є стандартна (евклідова) норма в \ Mathbb {R} ^ k , Яка визначається скалярним добутком, заданому в евклідовому просторі.


1.3. Безперервне відображення метричних просторів

Відображення f \ colon X \ to Y метричного простору (X, ρ X) в метричний простір (Y, ρ Y) називається безперервним у точці a , Якщо для всякого \ Varepsilon> 0 існує δ> 0 , Що для всякого x \ in X , Такого, що ρ X (x, a) , Виконується нерівність: ρ Y (f (x), f (a)) .


1.4. Безперервне відображення топологічних просторів

Відображення f \ colon X \ to Y топологічного простору (X, \ mathcal {T} _X) в топологічний простір (Y, \ mathcal {T} _Y) називається безперервним, якщо прообраз f - 1 (V) будь-якого відкритого безлічі V \ in \ mathcal {T} _Y відкритий, тобто:

\ Forall V \ in \ mathcal {T} _Y \ quad f ^ {-1} (V) \ in \ mathcal {T} _X .

2. Властивості


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безперервне уявлення
Безперервне безліч
Безперервне вейвлет-перетворення
Безперервне рівномірний розподіл
Відображення
Відображення (програмування)
Білінійну відображення
Багатозначне відображення
Ліпшіцево відображення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru