Бета-функція Дирихле

Бета-функція Дирихле дійсного аргументу x

Бета-функція Дирихле (Dirichlet beta function) в математики, іноді звана бета-функцією Каталана (Catalan beta function) - спеціальна функція, тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана. Вона є окремим випадком L-функції Діріхле. Вона названа на честь німецького математика Петера Густава Лежен-Діріхле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативна назва - на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана (Eugne Charles Catalan).

Бета-функція Дирихле визначається як

\ Beta (s) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n} {(2n +1) ^ s} \;,

або, еквівалентним чином, через інтегральне представлення

\ Beta (s) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1} e ^ {-x}} {1 + e ^ {-2x }} \, dx \;,

де Γ (s) - гамма-функція Ейлера. В обох випадках передбачається, що Re (s)> 0.


1. Зв'язок з іншими функціями

Альтернативне визначення через дзета-функцію Гурвіца справедливо на всій комплексній площині змінної s:

\ Beta (s) = 4 ^ {-s} \ left (\ zeta \ left (s, \ tfrac {1} {4} \ right) - \ zeta \ left (s, \ tfrac {3} {4} \ right) \ right) \;.

Бета-функція Дирихле також пов'язана з функцією Лерхе ( англ. Lerch transcendent ),

\ Beta (s) = 2 ^ {-s} \ Phi \ left (-1, s, \ tfrac {1} {2} \ right) \;.

Це співвідношення також вірно на всій комплексній площині змінної s.


2. Функціональне співвідношення

Співвідношення між β (s) і β (1 - s) дозволяє аналітично продовжити бета-функцію Діріхле на ліву частину комплексній площині змінної s (тобто для Re (s) <0),

\ Beta (s) = \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) ^ {s-1} \ Gamma (1-s) \ cos \ left (\ tfrac {1} {2} \ pi s \ right) \, \ beta (1-s) \;,

де Γ (s) - гамма-функція Ейлера.


3. Приватні значення

Приватні значення бета-функції Діріхле при цілих значення аргументу включають в себе

\ Beta (0) \; = \; \ tfrac {1} {2},
\ Beta (1) \; = \; \ tfrac {1} {4} \ pi,
\ Beta (2) \; = \; G,
\ Beta (3) \; = \; \ tfrac {1} {32} \ pi ^ 3,
\ Beta (4) \; = \; \ tfrac {1} {768} \ left (\ psi_3 \ left (\ tfrac {1} {4} \ right) -8 \ pi ^ 4 \ right),
\ Beta (5) \; = \; \ tfrac {5} {1536} \ pi ^ 5,
\ Beta (7) \; = \; \ tfrac {61} {184320} \ pi ^ 7,
\ Beta (9) \; = \; \ tfrac {1385} {41287680} \ pi ^ 9,

де G - постійна Каталана, а {\ Textstyle {\ psi_3 (\ frac {1} {4})}} - Приватне значення полігамма-функції третього порядку.

У загальному випадку, для будь-якого позитивного цілого k,

\ Beta (2k +1) = {{{({-1}) ^ k} {E_ {2k}} {\ pi ^ {2k +1}} \ over {4 ^ {k +1}} (2k) !}},

де E 2 k - числа Ейлера ( англ. Euler numbers ). Для негативних значень аргументу (для цілих невід'ємних k) ми маємо

\ Beta (-2k) = \ tfrac {1} {2} E_ {2k} \;,
\ Beta (-2k-1) = 0 \;,

тобто β (s) дорівнює нулю для всіх цілих непарних негативних значень аргументу (див. графік функції).


4. Приблизні значення

s приблизне значення β (s) OEIS
1 0.7853981633974483096156608 A003881
2 0.9159655941772190150546035 A006752
3 0.9689461462593693804836348 A153071
4 0.9889445517411053361084226 A175572
5 0.9961578280770880640063194 A175571
6 0.9986852222184381354416008 A175570
7 0.9995545078905399094963465
8 0.9998499902468296563380671
9 0.9999496841872200898213589
10 0.9999831640261968774055407

5. Похідна бета-функції Діріхле

Для деяких цілих значень аргументу s похідна β '(s) може бути обчислена аналітично,

\ Beta ^ \ prime (-1) = \ frac {2G} \ pi \;,
\ Beta ^ \ prime (0) = \ ln \ left (\ frac {\ Gamma ^ 2 (\ tfrac {1} {4})} {2 \ pi \ sqrt2} \ right) \;,
\ Beta ^ \ prime (1) = \ frac {\ pi} 4 \ left (\ gamma +2 \ ln2 +3 \ ln \ pi-4 \ ln \ Gamma (\ tfrac14) \ right) \;,

A113847 і A078127).

Крім цього, для цілих позитивних n похідну можна представити у вигляді нескінченної суми

\ Beta ^ \ prime (n) = - \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ ln \ left (\ frac {(4k +1) ^ {1 / (4k +1)}} {(4k-1) ^ {1 / (4k-1)}} \ right) \;.