Блоковий гамільтоніан

Блоковий Гамільтоніан - гамільтоніан, який описує критичну поведінку магнетика поблизу точки фазового переходу другого роду.


1. Предмет вивчення

Розглядається Магнетик в околиці точки Кюрі. Поведінка магнетика в цій області обумовлюється расходимостью ряду термодинамічних характеристик (таких як теплоємність, сприйнятливість). Термодинамічна гіпотеза подібності пов'язує всі расходимости з неогранніченним зростанням кореляційної довжини. Кореляційна довжина безпосередньо вимірюється за допомогою експериментів з розсіювання нейтронів. Метою цієї статті є опис отримання гамільтоніана, який би зручним чином визначав систему в умовах зростання кореляцій.


2. Осередкова гамільтоніан

Оскільки критичні явища та освіта кристалічної решітки і внутрішніх атомних оболонок між собою ніяк не пов'язані, будемо вважати останні заданими. Припускаючи, що критичні явища обумовлені великомасштабним колективним поведінкою електронних спінів, отримуємо, що, цілком ймовірно, нам немає необхідності знати зонну структуру і багато інших деталей - треба знати лише їх загальний вплив на взаємодію між електронними спинами. У такому разі можна зробити ще більш сильні спрощення. Розглянемо класичні спини, по одному в кожній елементарній комірці заданої кристалічної решітки з відомим спін-спінові взаємодією. Квантової природою, рухом електронів і багатьма іншими деталями знехтуємо. Прикладами моделей, що оперують з такими припущеннями можуть бути модель Изинга і модель Гейзенберга.

Кожному осередку припишемо спінових змінну \ Sigma_ {c} , Яка служить мірою повного спина осередку с. Всього в решітці міститься L ^ 3 осередків і, отже, L ^ 3 спінових змінних. Ці змінні ми будемо називати осередкова спинами. Енергія спінів, є функцією \ Hat {H} [\ sigma] спінових змінних. Це гамільтоніан чарункових спінів. Назвемо його осередковим гамільтоніаном.


2.1. Модель Изинга

Дана модель характеризується осередковим гамільтоніаном виду

\ Hat {H} [\ sigma] = \ frac {1} {2} J \ sum_ {c} \ sum_ {r} '(\ sigma_ {c} - \ sigma_ {c + r}) ^ 2, \ qquad (1)

де сума по r береться тільки за найближчим сусідам осередку c. Спінові змінні можуть приймати лише два значення \ Sigma_ {c} = \ pm 1 . Гамільтоніан (1) дозволяє найпростішим способом відобразити той факт, що енергія для однаково орієнтованих спинів менше, ніж для спінів, орієнтованих протилежним чином. J - " обмінна енергія ".


2.2. Модель Гейзенберга

Модель Гейзенберга є узагальненням моделі Ізінга на той випадок, коли спін може бути орієнтований довільним чином. Для опису кожного спина нам потрібно вектор

\ Sigma_ {c} = (\ sigma_ {1c}, \ sigma_ {2c}, \ sigma_ {3c}). \ Qquad (2)

Для \ Sigma_ {c} вводиться звичайне скалярний добуток і зовнішній вигляд гамільтоніана (1) зберігається.

2.3. XY-модель

XY-модель являє собою випадок, проміжний між моделлю Изинга і моделлю Гейзенберга. Вона служить для опису магнетиків зі спинами, орієнтованими в основному в одній площині.

3. Побудова блокового гамільтоніана, перетворення Каданова

В умовах зростання кореляційної довжини розумно припустити, що критичну поведінку магнетика не буде залежати від спінів конкретних елементарних комірок, а буде швидше визначатися середніми значеннями спінів цілих областей досліджуваного зразка. Побудуємо блоковий гамільтоніан залежний від таких середніх. Така побудова називається перетворенням Каданова.

3.1. Перший спосіб

Побудуємо блоковий гамільтоніан, який описує взаємодію між блоковими спинами. Для цього розділимо кристал на кубічні блоки розміром b ^ d елементарних комірок, де d - розмірність простору в якому вивчається система. Для кожного блоку визначимо блоковий спин, як суму чарункових спінів, поділену на b ^ d . Параметри блокового гамільтоніана підсумовують суттєві деталі поведінки системи в масштабах b постійних грат.

Нехай ймовірність знайти систему із заданим розподілом спінів по осередках дорівнює

P [\ sigma] \ sim exp [- \ hat {H} [\ sigma] / T]. \ Qquad (3)

Тоді ймовірність знайти систему із заданим розподілом блокових спінів буде виражатися, як

P '[\ sigma] \ sim \ int e ^ {- \ hat {H} [\ sigma] / T} \ prod_ {i, x} \ delta (\ sigma_ {i, x} - b ^ {-d} \ sum_ {c} ^ {x} \ sigma_ {i, c}) \ prod_ {j, c} d \ sigma_ {j, c} \ equiv e ^ {- \ hat {H '} [\ sigma] / T }, \ qquad (4)

цю формулу можна прийняти за визначення блокового гамільтоніана \ Hat {H '} [\ sigma] .

K_ {b} \ hat {H} [\ sigma] = \ hat {H '} [\ sigma] \ qquad (5)

Очевидно властивість перетворення Каданова

K_ {b_ {1}} K_ {b_ {2}} \ hat {H} [\ sigma] = K_ {b_ {1} * b_ {2}} \ hat {H} [\ sigma]. \ Qquad (6 )


3.2. Другий спосіб

Розглянемо осередковий гамільтоніан \ Hat {H} [\ sigma] як функцію фур'є-компонент \ Sigma_ {k}

\ Sigma_ {c} = L ^ {-d / 2} \ sum_ {k} e ^ {ik * c} \ sigma_ {k}, \ quad \ sigma_ {k} = L ^ {-d / 2} \ sum_ {c} e ^ {-ic * k} \ sigma_ {c}. \ qquad (7)

Введемо блоковий гамільтоніан тепер наступним способом

P '\ sim \ int e ^ {- \ hat {H} [\ sigma] / T} \ prod_ {i, k> \ Lambda} d \ sigma_ {i, k} \ equiv e ^ {- \ hat {H '} [\ sigma] / T}, \ qquad (8)

в цьому випадку блоковий спін визначається як

\ Sigma (x) = L ^ {-d / 2} \ sum_ {k <\ Lambda} e ^ {ik * x} \ sigma_ {k}, \ qquad (9)

і описує спінові конфігурацію в масштабах аж до b \ sim \ Lambda ^ {-1}


3.3. Зауваження

Перший і другий способи визначення блокового гамільтоніана не є повністю еквівалентними і визначають формально різні об'єкти.

Література

1. Ш.Ма Сучасна теорія критичних явищ. Видавництво "Світ" Москва, 1980. - 297 с.

2. Васильєв А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теорії критичного поведінки та стохастичної динаміки. Видавництво ПІЯФ, Санкт-Петербург, 1998. - 774 с ISBN 5-86763-122-2

Основні розділи
Геометрична оптика Фізична оптика Хвильова оптика Квантова оптика Нелінійна оптика Теорія випускання світла Теорія взаємодії світла з речовиною Спектроскопія Лазерна оптика Фотометрія Фізіологічна оптика Оптоелектроніка Оптичні прилади
Суміжні напрямки Акустооптика Крісталлооптіка
Загальна (фізична) акустика Геометрична акустика Психоакустика Біоакустики Електроакустика Гідроакустика Ультразвукова акустика Квантова акустика (акустоелектроніка) Акустична фонетика (Акустика мови)
Прикладна акустика Архітектурна акустика ( Будівельна акустика) Аероакустіка Музична акустика Акустика транспорту Медична акустика Цифрова акустика
Суміжні напрямки Акустооптика
Класична радіофізика Квантова радіофізика Статистична радіофізика
Теорія атома Атомна спектроскопія Рентгеноспектральний аналіз Радіоспектроскопія Фізика атомних зіткнень
Прикладна фізика
Термодинаміка газів Термодинаміка розчинів
Фізика плазми Фізика атмосфери Лазерна фізика Фізика прискорювачів
Пов'язані науки Агрофізика Фізична хімія Математична фізика Космологія Астрофізика Геофізика Біофізика Метрологія Матеріалознавство
Див також Кібернетика Синергетика Нелінійна динаміка
Портал "Фізика"