Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Бра і кет


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

< | >
bra ket
бра кет

Бра і ​​кет ( англ. bra-ket bracket дужка) - алгебраїчний формалізм (система позначень), призначений для опису квантових станів. Називається також позначеннями Дірака. В матричної механіки дана система позначень є загальноприйнятою.


1. Визначення і використання

У квантовій механіці стан системи описується променем у сепарабельному гільбертовому просторі, або, що еквівалентно, вектором з проективного гільбертовому просторі \ Mathcal {H}, елементи ( вектори) якого позначаються як | \ Psi \ rangle ("Кет-вектори").

Кожному кет-вектору | \ Psi \ rangle ставиться у відповідність бра-вектор із простору, сполученого до \ Mathcal {H}, тобто з \ Mathcal {H} ^ *.

Бра-вектор \ Langle \ psi | з простору \ Mathcal {H} ^ * визначається співвідношенням:

\ Langle \ psi |: \ mathcal H \ to \ mathbb {C}: \ langle \ psi | \ left (| \ rho \ rangle \ right) = \ left (| \ psi \ rangle \;, \; | \ rho \ rangle \ right) , Для будь-якого кет-вектора | \ Rho \ rangle.

Допускаючи деяку вільність мови, іноді говорять, що бра-вектори "збігаються" з відповідними їм комплексно-сполученими кет-векторами. При цьому зазвичай відбувається ототожнення векторів і функціоналів над векторами із стовпцями або рядками координат розкладання їх по відповідному базису \ Mathcal {H} ^ * або \ Mathcal {H}.

Скалярний добуток бра-вектора з кет-вектором (а точніше, дію бра-вектора на кет-вектор) записується у вигляді \ Langle \ phi | \ psi \ rangle; дві вертикальні риси "зливаються", а дужки опускаються. Квадрат вектора, за визначенням гильбертова простору, неотріцателен: \ Langle \ psi | \ psi \ rangle \ ge 0. На вектора, що описують стани системи, накладається умова нормування \ Langle \ psi | \ psi \ rangle = 1.


2. Лінійні оператори

Якщо A: HH - Лінійний оператор з H в H , То дія оператора A на кет-вектор | \ Psi \ rangle записується як A | \ psi \ rangle.

Для кожного оператора A і бра-вектора \ Langle \ phi | вводиться функціонал (\ Langle \ phi | A) з простору \ Mathcal {H} ^ *, тобто бра-вектор, помножений на оператор A , Який визначається рівністю:

\ Bigg (\ langle \ phi | A \ bigg) \; | \ psi \ rangle = \ langle \ phi | \; \ bigg (A | \ psi \ rangle \ bigg), для будь-якого вектора | \ Psi \ rangle.

Так як положення дужок не має значення, їх зазвичай опускають і пишуть просто \ Langle \ phi | A | \ psi \ rangle.

Це вираз називається згорткою оператора А з бра-вектором \ Langle \ phi | і кет-вектором | \ Psi \ rangle. Значення цього виразу є скаляр ( комплексне число).

Зокрема, матричний елемент оператора А в певному базисі (в тензорних позначеннях - A kl ) Записується в позначеннях Дірака як \ Langle k | A | l \ rangle, а середнє значення спостережуваної на стані \ Psi - Як \ Langle \ psi | A | \ psi \ rangle.

Множення векторів на оператор (кет-вектора - зліва, бра-вектора - праворуч) дає вектори того ж типу і записується тим же способом, що прийнятий в лінійній алгебрі (тобто в тому випадку, якщо бра-та кет-вектори ототожнюються з векторами -рядками і стовпцями, а оператори - з квадратними матрицями):

| \ Tilde \ psi \ rangle = A | \ psi \ rangle,
\ Langle \ tilde \ phi | = \ langle \ phi | A.

Рівняння Шредінгера (для стаціонарного стану) буде мати вигляд:

H | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle, де H - гамільтоніан, а E - Скаляр ( рівень енергії).

3. Відмінності бра-кет-позначень від традиційних

В математиці вживається позначення "Ермітових" скалярного добутку \ Langle \ phi, \ psi \ rangle в гільбертовому просторі, що має той же зміст, що й перемножування бра на кет. Однак математики зазвичай розглядають кутові дужки як знак операції, а не частини позначення вектора. Традиційне математичне позначення, на відміну від Діраковскій, несиметрично - обидва вектори передбачаються величинами одного типу, і по першому аргументу з двох операція є антілінейной.

З іншого боку, твір бра і кет є білінійну, але від двох аргументів різного типу. Спряженим до кет-вектору i | \ psi \ rangle буде бра-вектор -I \ langle \ psi | (Де i - уявна одиниця). Однак, у квантовій механіці цю дивину позначень дозволено ігнорувати, оскільки квантовий стан, репрезентовану вектором, не залежить від його множення на будь комплексні числа, по модулю рівні одиниці.

Крім того, використання бра і кет дозволяє підкреслити відмінність стану \ Psi (Записується без дужок і палиць) від конкретних векторів, його представляють.

На відміну від алгебраїчних позначень, де елементи базису позначаються як e_k, в бра-кет-позначеннях може зазначатися тільки індекс базисного елемента: \ Langle k | \, \ | l \ rangle. Цим вони схожі на тензорні позначення, але, на відміну від останніх, дозволяють записувати твори операторів з векторами без використання додаткових (підрядкових або надрядкових) букв.


4. Математичні властивості

Бра і кет можна використовувати і в чистій математиці для позначення елементів сполучених один одному лінійних просторів. Якщо, наприклад, \ Mathcal {H} = R ^ n, то кет-вектори вважаються при цьому "векторами-стовпцями", а бра-вектори - "векторами-рядками".

Перемножування бра-та кет-векторів один на одного і на оператори можна розглядати як окремий випадок матричного формалізму "рядок на стовпець". А саме, треба покласти кет-вектори матрицями розміру N 1, бра-вектори - розміру 1 N , Оператори - розміру N N , Де N - Кількість станів квантової системи ( розмірність простору \ Mathcal {H} ). Матриці розміру 1 1 мають єдиний елемент і ототожнюються зі скалярами. У разі нескінченновимірного простору станів на "матриці" (фактично ряди) доводиться накладати додаткові умови збіжності.

Формула для сполученого вектора виглядає наступним чином:

\ Langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ overline {c} _1, \ overline {c} _2, \ cdots, \ overline {c} _N \ end {pmatrix}, де | \ Psi \ rangle = \ begin {pmatrix} c_1 \ \ c_2 \ \ \ vdots \ \ c_N \ end {pmatrix}

Запис типу \ Langle ... \ Rangle завжди означає скаляр. Бра-вектор завжди має дужку зліва \ Langle, кет-вектор - дужку справа \ Rangle. Вводиться також твір в "неприроднім" порядку - | \ Phi \ rangle \ langle \ psi | (Аналогічне матричному множенню вектора-стовпця на вектор-рядок), яке дає так званий кет-бра-оператор. Оператор | \ Psi \ rangle \ langle \ phi | має ранг 1 і є тензорним твором | \ Psi \ rangle і \ Langle \ phi |. Такі оператори часто розглядаються в теорії операторів та квантових обчисленнях. Зокрема, оператор | \ Psi \ rangle \ langle \ psi | (При нормуванні \ Langle \ psi | \ psi \ rangle = 1 ) Є проектором на стан ψ , Точніше, на відповідне одномірне лінійне підпростір в \ Mathcal {H}.

Має місце асоціативність :

\ Langle \ phi | \ cdot A | \ psi \ rangle \ = \ \ langle \ phi | A | \ psi \ rangle \ = \ \ langle \ phi | A \ cdot | \ psi \ rangle,
| \ Psi \ rangle \ cdot \ langle \ phi | \ tilde \ psi \ rangle \ = \ (| \ psi \ rangle \ langle \ phi |) \ cdot | \ tilde \ psi \ rangle

і т. д.


5. Цікаві факти

Література

  • Бєлоусов Ю. М. Курс квантової механіки. Нерелятівістская теорія. - М .: МФТІ, 2006. - 408 с.
  • Давидов А. С. Квантова механіка. - М .: Наука, 1973. - 704 с.
  • Дірак П. А. М. Принципи квантової механіки. - М .: Наука, 1979. - 440 с.
  • Мессі А. Квантова механіка. - М .: Наука, 1978. - Т. 1. - 478 с.
  • Шпольський Е. В. Атомна фізика. - М .: Наука, 1974. - Т. 2. - 448 с.
  • Ярів А. Введення в теорію і додатку квантової механіки. - М .: Світ, 1984. - 360 с.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кет Стівенс
Цілуй мене, Кет
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru