Нехай \, L є векторний простір над полем \, K (Найчастіше розглядаються поля K = \ mathbb R і K = \ mathbb C ).

Білінійної формою називається функція F \ colon L \ times L \ to K , Лінійна по кожному з аргументів :

~ F (x + z, y) = F (x, y) + F (z, y) ,
~ F (x, y + z) = F (x, y) + F (x, z) ,
~ F (\ lambda x, y) = \ lambda F (x, y) ,
~ F (x, \ lambda y) = \ lambda F (x, y) ,

тут x, y, z \ in L і \ Lambda \ in K.

Білінійна форма - окремий випадок поняття тензора (тензор рангу (2,0)).


1. Пов'язані визначення

  • Білінійна форма ~ F називається симетричною, якщо ~ F (x, y) = F (y, x) для будь-яких векторів x, y \ in L .
  • Білінійна форма ~ F називається кососімметрічной (антисиметричною), якщо ~ F (x, y) =-F (y, x) для будь-яких векторів x, y \ in L .
  • Вектор x \ in L називається ортогональним підпростір M \ subset L щодо ~ F , Якщо ~ F (x, y) = 0 для всіх y \ in M . Сукупність векторів x \ in L , Ортогональних підпросторів M \ subset L щодо даної білінійної форми ~ F , Називається ортогональним доповненням підпростору M \ subset L щодо ~ F і позначається ~ M ^ {\ perp} .
  • Радикалом білінійної форми ~ F називається ортогональне доповнення самого простору ~ L щодо ~ F , Тобто сукупність ~ L ^ {\ perp} векторів x \ in L , Для яких ~ F (x, y) = 0 при всіх y \ in L .

2. Властивості

  • Безліч всіх білінійних форм W (L, L) , Заданих на довільному фіксованому просторі, є лінійним простором.
  • Будь-яку білінійну форму можна представити у вигляді суми симетричної і кососімметрічной форм.
  • При вибраному базисі e_1, \ ldots, e_n в L будь-яка білінійна форма ~ F однозначно визначається матрицею
\ Begin {pmatrix} F (e_1, e_1) & F (e_1, e_2) & \ ldots & F (e_1, e_n) \ \ F (e_2, e_1) & F (e_2, e_2) & \ ldots & F (e_2 , e_n) \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ F (e_n, e_1) & F (e_n, e_2) & \ ldots & F (e_n, e_n) \ end {pmatrix},

так що для будь-яких векторів x = x ^ 1 e_1 + x ^ 2 e_2 + \ cdots + x ^ n e_n і y = y ^ 1 e_1 + y ^ 2 e_2 + \ cdots + y ^ n e_n

F (x, y) = \ begin {pmatrix} x ^ 1 & x ^ 2 & \ ldots & x ^ n \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} F (e_1, e_1) & F (e_1, e_2) & \ ldots & F (e_1, e_n) \ \ F (e_2, e_1) & F (e_2, e_2) & \ ldots & F (e_2, e_n) \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ F (e_n, e_1) & F (e_n, e_2) & \ ldots & F (e_n, e_n) \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} y ^ 1 \ \ y ^ 2 \ \ \ vdots \ \ y ^ n \ end {pmatrix},

тобто

F (x, y) = \ sum_ {i, j = 1} ^ n f_ {ij} \, x ^ iy ^ j, \ \ quad f_ {ij} = F (e_i, e_j).
  • Це також означає, що білінійна форма повністю визначається своїми значеннями на векторах базису.
  • Розмірність простору \, W (L, L) є \, \ Dim W (L, L) = (\ dim L) ^ 2 .
  • Незважаючи на те, що матриця білінійної форми ~ F залежить від вибору базису, ранг матриці білінійної форми в будь-якому базисі один і той же, він називається рангом білінійної форми ~ F . Білінійна форма називається невиродженої, якщо її ранг дорівнює \, \ Dim L .
  • Для будь-якого підпростори M \ subset L ортогональне доповнення ~ M ^ {\ perp} є підпростором M ^ {\ perp} \ subset L .
  • \ Dim L ^ {\ perp} = \ dim L - r , Де \, R - Ранг білінійної форми ~ F .

3. Перетворення матриці білінійної форми при заміні базису

Матриця, що представляє білінійну форму в новому базисі, пов'язана з матрицею, що представляє її в старому базисі, через матрицю, зворотну матриці переходу до нового базису (матриці Якобі), через яку перетворюються координати векторів.

Іншими словами, якщо координати вектора в старому базисі ~ X ^ i виражаються через координати в новому ~ X ^ i через матрицю ~ \ Beta~ X ^ i = \ sum \ beta ^ i_j x ^ j , Або в матричній запису ~ X = \ beta x , То білінійна форма ~ F на будь-яких векторах ~ X і ~ Y запишеться, як

F (x, y) = \ sum_ {i, j} F_ {ij} X ^ i Y ^ j = \ sum_ {i, j, k, m} F_ {ij} \ beta ^ i_k \ beta ^ j_m x ^ ky ^ m ,

тобто компоненти матриці, що представляє білінійну форму в новому базисі, будуть:

f_ {km} = \ sum_ {i, j} F_ {ij} \ beta ^ i_k \ beta ^ j_m ,

або, у матричній запису:

~ F = \ beta ^ T F \ beta ,
~ \ Beta = \ alpha ^ {-1} , Де ~ \ Alpha - Матриця прямого перетворення координат ~ X = \ alpha X .

Література

  • Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри М.: Наука, 1971.
  • Тадея Д. К. Лекції з алгебри. М.: Наука, 1984.
  • Кострикін А. І. Введення в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемішев Д. В. Аналітична геометрія і лінійна алгебра.-М.: Вища. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд І. М., Лінійна алгебра. Курс лекцій.
  • Шафаревич І. Р., Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.