Білінійної перетворення

Не слід плутати з Білінійну відображення.

Білінійної перетворення (або переважно. До зап. Літературі перетворення Тастіна (Tustin's method transformation)) - конформне відображення, використовуване для того, щоб перетворити передатну функцію H_a (s) \лінійної стаціонарної системи (коригуючі ланки систем управління, електронні фільтри і т. п.) з безперервної форми в передатну функцію H_d (z) \ лінійної системи в дискретної формі. Воно відображає точки j \ omega \ -Осі, Re [s] = 0 \ , На s-площині в окружність одиничного радіуса, | Z | = 1 \ , На z-площини.

Це перетворення зберігає стійкість вихідної безперервної системи і існує для усіх точок її передавальної функції. Тобто для кожної точки передавальної функції або АФЧХ вихідної системи існує подібна крапка з ідентичною фазою і амплітудою дискретної системи. Однак ця точка може бути розташована на інший частоті. Ефект зсуву частот майже непомітний при невеликих частотах, проте істотний на частотах, близьких до частоті Найквіста.

Білінійної перетворення являє собою функцію, аппроксимирующую натуральний логарифм, який є точним відображенням z-площини на s-площину. При взятті перетворення Лапласа над дискретним сигналом (представляє послідовність відліків), результатом є Z-перетворення з точністю до заміни змінних:

z \= E ^ {sT} \= \ Frac {e ^ {sT / 2}} {e ^ {-sT / 2}} \\ Approx \ frac {1 + s T / 2} {1 - s T / 2} \

де T \ - Період квантування (обернена до частоті дискретизації величина). Апроксимація, наведена вище і є білінійної перетворенням.

Зворотне перетворення з s-площині в z-площину і його білінійна апроксимація записуються таким чином:


s \= \ Frac {1} {T} \ log (z) \= \ Frac {2} {T} \ left [\ frac {z-1} {z +1} + \ frac {1} {3} \ left (\ frac {z-1} {z +1} \ right ) ^ 3 + \ frac {1} {5} \ left (\ frac {z-1} {z +1} \ right) ^ 5 + \ frac {1} {7} \ left (\ frac {z-1 } {z +1} \ right) ^ 7 + \ ldots \ right] \\ Approx \ frac {2} {T} \ frac {z - 1} {z + 1} \\ Approx \ frac {2} {T} \ frac {1 - z ^ {-1}} {1 + z ^ {-1}} \

Білінійну перетворення використовує це співвідношення для заміни передавальної функції H_a (s) \ на її дискретний аналог:

s \ leftarrow \ frac {2} {T} \ frac {z - 1} {z + 1}.

тобто:

H_d (z) = H_a (s) \ bigg | _ {s = \ frac {2} {T} \ frac {z - 1} {z + 1}} = H_a \ left (\ frac {2} {T} \ frac {z-1} {z +1} \ right). \

Білінійної перетворення - окремий випадок перетворення Мебіуса, що визначається як:

z ^ {\ prime} = \ frac {a z + b} {c z + d}.



Джерела

1 на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод білінійної перетворення

Розрахунок передавальної характеристики БИХ фільтра на основі аналогового фільтра прототипу. Білінійну перетворення. Статичний із першоджерела 19 Лютого 2012.