Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Бісектриса



План:


Введення

Бісектриса (від лат. bi- "Подвійне", і sectio "розрізання") кута - промінь з початком у вершині кута, який ділив кут на два рівних кута [1].

Бісектриса кута (разом з її продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).


1. Бісектриси трикутника

Бісектриса кута трикутника може позначати:

  • промінь - бісектрису цього кута або
  • відрізок бісектриси цього кута до її перетину із стороною трикутника.

1.1. Властивості

Побудова бісектриси
  • Теорема про бісектрису : Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону в відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - інцентре - центрі вписаною в цей трикутник кола.
  • Бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр однієї з трьох вневпісанних кіл цього трикутника.
  • Підстави биссектрис двох внутрішніх і одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
  • Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник - рівнобедрений ( теорема Штейнера - ЛЄМУС).
  • Побудова трикутника за трьома заданим бісектриса за допомогою циркуля і лінійки неможливо, [2] причому навіть при наявності трісектора. [3]

1.2. Обчислення довжини бісектриси

Бісектриса Трикутника ABC

Для виведення нижченаведених формул можна скористатися теоремою Стюарта.

l_c = {\ sqrt {ab (a + b + c) (a + b-c)} \ over {a + b}}
l_c = \ sqrt {ab-a_lb_l}
l_c = \ frac {2ab \ cos \ frac {\ gamma} {2}} {a + b}
l_c = \ frac {h_c} {\ cos \ frac {\ alpha-\ beta} {2}}

де:

  • l c - Довжина бісектриси, проведеної до сторони c ,
  • a, b, c - Сторони трикутника проти вершин A, B, C відповідно,
  • p - напівпериметр трикутника,
  • a l, b l - Довжини відрізків, на які бісектриса l c ділить сторону c ,
  • α, β, γ - Внутрішні кути трикутника при вершинах A, B, C відповідно,
  • h c - висота трикутника, опущена на сторону c .

2. Мнемонічне правило

Бісектриса - це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл. [4]

Полегшує запам'ятовування формулювання. Найчастіше вживається дітьми.

Примітки

  1. Бісектриса / / Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона : В 86 томах (82 т. і 4 доп.) - СПб. , 1890-1907.
  2. Хто і коли довів неможливість побудови трикутника за трьома бісектриса? - www.mccme.ru / ask / qa / bissect.html. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО.
  3. Чи можна побудувати трикутник за трьома бісектриса, якщо крім циркуля і лінійки дозволяється використовувати трісектор - www.mccme.ru/ask/qa/bissect1.html. Дистанційний консультаційний пункт з математики МЦНМО.
  4. Навчальні труднощі п'ятикласників - psy.1september.ru/2002/13/22.htm

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru