Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Варіаційне числення



План:


Введення

Варіаційне числення - це розділ функціонального аналізу, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найтиповіша завдання варіаційного обчислення полягає в тому, щоб знайти функцію, на якій заданий функціонал досягає екстремального значення.

Методи варіаційного обчислення широко застосовуються в різних областях математики. Наприклад, в диференціальної геометрії з їх допомогою шукають геодезичні лінії і мінімальні поверхні. У фізиці варіаційний метод - одне з найпотужніших знарядь отримання рівнянь руху (див. наприклад Принцип найменшої дії), як для дискретних, так і для розподілених систем, в тому числі і для фізичних полів. Методи варіаційного обчислення можна застосувати й у статиці (див. Варіаційні принципи).


1. Терміни та визначення

Найважливішими поняттями варіаційного обчислення є наступні:

  • варіація (перша варіація),
  • варіаційна похідна (перша варіаційна похідна),
  • крім першої варіації і першої варіаційної похідної, розглядаються і варіації і варіаційні похідні другого і вищих порядків.

Ніяк не пов'язана з варіаційним обчисленням збігається за назвою варіація функції в аналізі.

Термін варіювання (варіювати) - застосовується у варіаційному численні для позначення знаходження варіації або варіаційної похідної (це аналог терміна диференціювання для випадку нескінченновимірного аргументу, що є предметом варіаційного числення). Також нерідко для стислості (особливо в додатках) термін варіювання застосовується для позначення рішення варіаційної задачі, зводиться до знаходження варіаційної похідної та прирівнювання її нулю.

Варіаційна задача означає, як правило, знаходження функції (в рамках варіаційного числення - рівняння на функцію), що задовольняє умові стаціонарності деякого заданого функціонала, тобто такої функції, (нескінченно малі) обурення якої не викликають зміни функціоналу принаймні в першому порядку малості. Також варіаційної завданням називають тісно пов'язану з цим задачу знаходження функції (рівняння на функцію), на якій даний функціонал досягає локального екстремуму (багато в чому ця задача зводиться до першої, іноді практично повністю). Зазвичай при такому вживанні термінів мається на увазі, що завдання вирішується методами варіаційного числення.

Типовими прикладами варіаційної задачі є ізопериметричні завдання в геометрії і механіці; у фізиці - задача знаходження рівнянь поля із заданого виду дії для цього поля.


2. Історія

Ще в античні часи з'явилися перші варіаційні проблеми, пов'язані з категорії изопериметрических завдань - наприклад, завдання Дідони. Давньогрецьким математикам вже було відомо [1] :

  1. З усіх фігур із заданим периметром найбільшу площу має коло.
  2. З усіх багатокутників з заданим числом сторін і заданим периметром найбільшу площу має правильний багатокутник.
  3. З усіх тіл з заданою площею поверхні найбільший обсяг має кулю. Аналогічне завдання для кульових сегментів вирішив Архімед, а Зенодор в II столітті до н. е.. написав книгу "Про изопериметрических фігурах" (збереглися великі цитати з неї в працях інших авторів).

Перший варіаційний принцип сформулював для траєкторій відбитих світлових променів Герон Олександрійський в роботі "Катоптрика" (I століття н. е..) [2].

У середньовічній Європі изопериметрическими завданнями займалися І. Сакробоско (XIII століття) і Т. Брадвардін (XIV століття). Після розробки аналізу з'явилися нові типи варіаційних задач, в основному механічного характеру. Ньютон в "Математичних засадах натуральної філософії" (1687) вирішує завдання: знайти форму тіла обертання, що забезпечує найменший опір при русі в газі або рідини (при заданих розмірах). Важливою історичним завданням, що дала поштовх до розвитку сучасного варіанта варіаційного обчислення, стала задача про брахістохроне (1696). Її швидке рішення одразу кількома математиками показало величезні можливості нових методів. Серед інших завдань варто відзначити визначення форми ланцюгової лінії (тобто форми рівноваги важкої однорідної нитки, 1690 рік). Загальних методів рішення варіаційних задач в цей період ще не існувало, кожне завдання вирішувалася за допомогою дотепних (і не завжди бездоганних) геометричних міркувань.

П'єр Ферма сформулював основний принцип геометричної оптики, в силу якого світло в неоднорідному середовищі вибирає шлях, який займає найменший час. У 1746 році Мопертюї узагальнив це правило, ввівши в науці першим принцип найменшої дії.

Вирішальний внесок у розвиток варіаційного обчислення внесли Леонард Ейлер та Жозеф Лагранж. Ейлера належить перший систематичний виклад варіаційного обчислення і сам термін (1766 рік). Лагранж незалежно отримав (з 1755 року) багато основоположних результати і ввів поняття варіації.

На цьому етапі були виведені рівняння Ейлера - Лагранжа. Вони являють собою необхідну умову екстремуму, що стало аналітичним фундаментом варіаційних методів. Незабаром, однак, з'ясувалося, що вирішення цих рівнянь не у всіх випадках дають реальний екстремум, і постало завдання знайти достатні умови, що гарантують екстремум. Перше глибоке дослідження (другий варіації) зробив Лежандр, проте Лагранж виявив у його роботі помилку. Результати Лежандра уточнив і доповнив Якобі (1837), потім його учень Гессе (1857) і пізніше Вейерштрасс. Зараз ці достатні умови називаються рівняннями Якобі [3].


3. Неформальне обговорення

Змістом варіаційного числення є узагальнення поняття диференціала і похідної функції конечномерного векторного аргументу на випадок функціоналу - функції, областю визначення якої служить якесь безліч або простір функцій, а значення лежать в безлічі речових, або комплексних чисел.

  • Усюди нижче в цьому пункті мається на увазі, що функції і функціонали володіють необхідною гладкістю, тобто питання існування тих чи інших похідних спеціально не розглядається, тим більше що в багатьох конкретних завданнях це питання не має практичного значення (потрібна гладкість завідомо є).

Функціонал Φ [f] ставить у відповідність кожній конкретній функції f з його області визначення - певне число.

Неважко написати для функціоналу аналоги диференціала і похідної за напрямом.


3.1. Варіація

Аналогом диференціала (першого диференціала) є у варіаційному численні варіація (перша варіація):

δΦ = Φ [f + δ f] - Φ [f]

(Як і у випадку диференціала мається на увазі лінійна частина цього приросту, а висловлюючись традиційним чином - δ f вибирається нескінченно малою, і при обчисленні різниці відкидаються нескінченно малі вищих порядків). При цьому δ f - Грає роль диференціала або малого збільшення незалежної змінної - називається варіацією f .

Як бачимо, δΦ сама в свою чергу є функціоналом, так як вона, взагалі кажучи, різна для різних f (Також і для різних δ f ).

Таким чином, це - в застосуванні до функціоналом - прямий аналог диференціала функції конечномерного (у тому числі одновимірного) аргументу:

d y = y (x + d x) - y (x)

- Точно так само розуміється як лінійна частина приросту функції y при нескінченно малому збільшенні аргументу x (Або лінійний член при розкладанні y за ступенями d x поблизу точки x ).

Приклади
  • Для функціонала Φ [f] = cos (f (1)) речової функції речового аргументу - для будь f і δ f буде вірним δΦ = - sin (f (1)) .
  • Для функціонала Φ [f] = cos (f (1)) + sin (f (6)) речової функції речового аргументу - для будь f і δ f буде вірним δΦ = - sin (f (1)) + cos (f (6)) .
  • Для функціонала \ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 f (x) \, dx речової функції речового аргументу - для будь f і δ f буде вірним \ Delta \ Phi = \ int \ limits_1 ^ 2 (f (x) + \ delta f (x)) \, dx-\ int \ limits_1 ^ 2 f (x) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ delta f (x) \, dx .

3.2. Похідна за напрямом

( Похідна Гато) Похідною функціоналу Φ в точці f за напрямом g , Очевидно, буде

\ Frac {d \ Phi [f + \ alpha g]} {d \ alpha} \ bigg | _ {\ alpha = 0}.

Цього в принципі вже достатньо для вирішення типової варіаційної задачі - знаходження "стаціонарних точок", тобто таких функцій f , Для яких перша варіація або похідна за напрямом звертається в нуль для будь нескінченно малою δ f або будь-якої кінцевої g . Саме ці "точки" в просторі функцій - тобто саме такі функції - є кандидатами в екстремал (перевірку того, чи дійсно вони є екстремалами, тобто чи досягається на них локальний екстремум, треба робити окремо, як і у випадку функцій конечномерного аргументу; цікаво, що в багатьох задачах фізики важливіше знайти не екстремал, а саме стаціонарні точки).

Приклади
(Тут не вводиться спеціальних позначень для похідної за напрямом.)
  • Похідна функціоналу Φ [f] = f (0) в точці f = cos за напрямом g = cos дорівнює \ Frac {d (\ cos (0) + \ alpha \ cos (0))} {d \ alpha} = 1 .
  • Похідна функціоналу Φ [f] = f (0) в точці f = cos за напрямом g = sin дорівнює \ Frac {d (\ cos (0) + \ alpha \ sin (0))} {d \ alpha} = 0 .
  • Похідна функціоналу \ Phi [f] = \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \ cos (x) f (x) \, dx в точці f = cos за напрямом g = cos дорівнює \ Frac {d} {d \ alpha} \ left ((1 + \ alpha) \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \ cos ^ 2x \, dx) \ right) = \ pi .
  • Похідна функціоналу \ Phi [f] = \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \ cos (x) f (x) \, dx в точці f = cos за напрямом g = sin дорівнює \ Frac {d} {d \ alpha} \ left (\ alpha \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \ sin x \ cos x \, dx \ right) = \ frac {d0} {d \ alpha} = 0 .

3.3. Варіаційна похідна

Для інтегральних функціоналів, які є дуже важливим для математики та програм випадком, можна ввести не тільки аналог диференціала і похідну за напрямом, але й похідну Фреше - аналог конечномерного градієнта, звану варіаційної похідної.

Тобто, в повній аналогії з скінченновимірних випадком, коли

\ Vec {dy} = \ big (\ vec \ nabla y, \; d \ vec x \ big) = \ left (\ frac {dy} {d \ vec x}, \; d \ vec x \ right) = \ sum_i \ partial_i y \, dx_i ,

де \ Vec \ nabla y - Позначення градієнта (або похідною Фреше) функції y , А (\;, \;) - Скалярний твір; \ Partial_i - Оператор похідної по i -Той координаті, сума являє собою повний диференціал.

Для функціонала маємо

\ Delta \ Phi = \ left (\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f}, \; \ delta f \ right) = \ int \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} (x) \ delta f (x) \, dx ,

де \ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} - Позначення варіаційної похідної Φ , А підсумовування конечномерное формули природно замінено інтеграцією.

Отже,

\ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} - Стандартне позначення варіаційної похідної. Це також якась функція як від x , Як і f (Взагалі кажучи, це узагальнена функція, але ця обмовка виходить за рамки розгляду, оскільки передбачається, що всі функції та функціонали як завгодно гладкі і не мають особливостей).

Іншими словами, якщо можна уявити варіацію

δΦ = Φ [f + δ f] - Φ [f]

у вигляді

\ Delta \ Phi = \ int A (x) \ delta f (x) \, dx , Де A - Деяка функція x ,

то A є варіаційна похідна Φ по f ("По f "Тут означає, що інші аргументи та параметри не змінюються; мовний зворот" по f "Можна опустити у випадку, коли точно визначено, функціоналом від якої функції розглядається Φ , Що на практиці може бути не зрозумілим із самої його формули, до якої можуть входити і інші параметри і функції - див. також нижче). Тобто

\ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = A.
Приклади
(В тут різниця інтегралів зводиться в один інтеграл.)
  • Для функціонала \ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 f (x) \, dx маємо
\ Delta \ Phi = \ delta \ int \ limits_1 ^ 2 f (x) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ left (f (x) + \ delta f (x) \ right) \, dx-\ int \ limits_1 ^ 2 f (x) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ delta f (x) \, dx \ Rightarrow \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = 1.
  • Для функціонала \ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 K (x) f (x) \, dx варіаційна похідна обчислюється як:
\ Delta \ Phi = \ delta \ int \ limits_1 ^ 2 K (x) f (x) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ delta (K (x) f (x)) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 K (x) \ delta f (x) \, dx \ Rightarrow \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = K (x).
  • Для функціонала \ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 L (f (x)) \, dx
\ Delta \ Phi = \ delta \ int \ limits_1 ^ 2 L (f (x)) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ delta L (f (x)) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac {\ partial L} {\ partial f} \ delta f (x) \, dx \ Rightarrow \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = \ frac {\ partial L} {\ partial f}.
Якщо виразити нескінченно малу різницю функції δ L (f) через її похідну і різниця аргументу δ f , Виходить:
\ Delta L = \ frac {\ partial L} {\ partial f} \ delta f.

Легко бачити, що це визначення узагальнюється на будь-яку розмірність інтеграла. Для n -Мірного випадку вірна прямо узагальнююча одновимірний випадок формула:

\ Delta \ Phi = \ int \ limits_ \ Omega \ left (\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} \ right) \ delta f (x) \, d ^ nx.

Так само легко узагальнюється поняття варіаційної похідної на випадок функціоналів від декількох аргументів [4] :

\ Delta \ Phi [f, \; g, \; \ ldots] = \ int \ limits_ \ Omega \ left (\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} \ delta f (x) + \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta g} \ delta g (x) + \ ldots \ right) \, d \ Omega.
Приклади
(В тут різниця інтегралів зводиться в один інтеграл.)
  • Для функціонала \ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 \ int \ limits_3 ^ 4 L (f (x, \; y)) \, dx \, dy багатомірний випадок варіаційної похідної обчислюється як:
\ Delta \ Phi = \ delta \ int \ limits_1 ^ 2 \ int \ limits_3 ^ 4 L (f (x, \; y)) \, dx \, dy = \ int \ limits_1 ^ 2 \ int \ limits_3 ^ 4 \ delta L (f (x, \; y)) \, dx \, dy = \ int \ limits_1 ^ 2 \ int \ limits_3 ^ 4 \ frac {\ partial L} {\ partial f} \ delta f (x, \ ; y) \, dx \, dy \ Rightarrow \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = \ frac {\ partial L} {\ partial f}.
  • Для функціонала \ Phi [f, \; g] = \ int \ limits_1 ^ 2 L (f (x), \; g (x)) dx маємо
\ Delta \ Phi = \ delta \ int \ limits_1 ^ 2 L (f (x), \; g (x)) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ delta L (f (x), \; g ( x)) \, dx = \ int \ limits_1 ^ 2 \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial f} \ delta f (x) + \ frac {\ partial L} {\ partial g} \ delta g (x) \ right) \, dx \ Rightarrow \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = \ frac {\ partial L} {\ partial f}, \; \ frac {\ delta \ Phi} {\ delta g} = \ frac {\ partial L} {\ partial g}.

Висловлюючи нескінченно малу різницю функції кількох аргументів як повний диференціал, отримаємо:

\ Delta L = \ frac {\ partial L} {\ partial f} \ delta f + \ frac {\ partial L} {\ partial g} \ delta g.

3.4. Варіації і варіаційні похідні другого і вищих порядків

Як це описано вище для першого порядку, можна ввести поняття другої варіації і другий варіаційної похідної функціоналу, а також n -Ої варіації і n -Ой варіаційної похідної:

\ Delta ^ 2 \ Phi, \; \ frac {\ delta ^ 2 \ Phi [f]} {\ delta f ^ 2}, \; \ delta ^ n \ Phi, \; \ frac {\ delta ^ n \ Phi [f]} {\ delta f ^ n}.

Для функціоналів, що залежать від кількох функцій, можна також ввести поняття змішаних варіаційних похідних різного порядку, наприклад:

\ Frac {\ delta ^ 3 \ Phi [f, \; g]} {\ delta f ^ 2 \ delta g}.


Тут ми не будемо зупинятися на цьому детально, все робиться повністю аналогічно введенню відповідних диференціалів і похідних для функції конечномерного аргументу.

Функціонал районі конкретної точки в просторі функцій розкладається в ряд Тейлора, якщо, звичайно, варіаційні похідні всіх порядків існують. Як і в скінченновимірних випадках, сума кінцевого числа членів цього ряду дає значення функціоналу з певною точністю (відповідного порядку малості) лише при невеликих відхиленнях його аргументу (при нескінченно малих). Крім того, як і у випадку функцій конечномерного аргументу, ряд Тейлора (сума всіх членів) може не збігатися до функціоналу, в нього розкладеному, при будь-яких ненульових кінцевих зсувах, хоча такі випадки досить рідкісні в додатках.


3.5. Застосування варіаційного обчислення

Хоча завдання, до яких застосовано варіаційне числення, помітно ширше, в додатках вони головним чином зводяться до двох основних завдань:

  1. знаходження точок в просторі функцій, на якому визначено функціонал - точок стаціонарного функціонала, стаціонарних функцій, ліній, траєкторій, поверхонь і т. п., тобто перебування для заданого Φ [f] таких f , Для яких δΦ = 0 при будь-якому (нескінченно малому) δ f , Або, інакше, де \ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = 0 ,
  2. знаходження локальних екстремумів функціоналу, тобто в першу чергу визначення тих f , На яких Φ [f] приймає локально екстремальні значення - знаходження екстремальний (іноді також визначення знака екстремуму).

Очевидно, обидва завдання тісно пов'язані, і рішення другої зводиться (при належній гладкості функціонала) до вирішення першої, а потім перевірці, чи дійсно досягається локальний екстремум (що робиться незалежно вручну, або - більш систематично - дослідженням варіаційних похідних другого і, якщо всі вони одного знака і хоча б одна з них дорівнює нулю, то і більш високого порядку). В описаному процесі з'ясовується і тип екстремуму. Нерідко (наприклад, коли функція стаціонарного функціонала єдина, а всі зміни функціоналу при будь-якому великому обуренні мають один і той же знак) вирішення питання, екстремум це і якого він типу, заздалегідь очевидно.

При цьому дуже часто задача (1) виявляється не менш або навіть більш важливою, ніж завдання (2), навіть коли класифікація стаціонарної точки невизначена (тобто вона може виявитися мінімумом, максимумом або сідлової точкою, а також слабким екстремумів, точкою, поблизу якої функціонал точно постійний або відрізняється від постійного в більш високому порядку, ніж другий). Наприклад, в механіці (і взагалі у фізиці) крива або поверхня стаціонарної потенційної енергії означає рівновагу, а питання, чи є вона екстремали, пов'язаний лише з питанням про стійкість цієї рівноваги (який далеко не завжди важливий). Траєкторії стаціонарного дії відповідають можливого руху, незалежно від того, мінімально дію на такій траєкторії, максимально, або сідлоподібній. Те ж можна сказати про геометричній оптиці, де будь-яка лінія стаціонарного часу (а не тільки мінімального, як в простій формулюванні принципу найменшого часу Ферма) відповідає можливого руху світлового променя неоднорідною оптичному середовищі. Є системи, де взагалі немає екстремали, але стаціонарні точки існують.

Способи знаходження умовних екстремумів і умовних стаціонарних точок (див. нижче) роблять варіаційне числення ще більш потужним знаряддям вирішення обох завдань.


3.6. Техніка варіювання

Основним технічним питанням при знаходженні варіаційної похідної інтегрального функціоналу Φ [f] , В подинтегральной вираз якого входить не тільки значення функції f в точці x , А й значення її похідних, тобто не тільки f (x) , А й d f / d x , d 2 f / d x 2 і так далі (в принципі можуть входити похідні будь-якого порядку, хоча в практичних завданнях порядки вище другого, зустрічаються набагато рідше, а найчастіше порядок похідних не вище першого). Похідні входять туди практично завжди: наприклад, такий функціонал, як довжина кривої, містить похідні першого порядку, а потенційна енергія вигнутого пружного стрижня - похідні щонайменше другого порядку.

Незручність [5], що полягає в тому, що при цьому у виразі δΦ [f] з'являються під інтегралом не тільки члени з δ f , Але і з δ (d f / d x) , Усувається інтегруванням по частинам.

Розглянемо це спочатку на простому приватному прикладі, а потім на загальному.

Приклад: Нехай потрібно знайти варіаційну похідну функціонала

\ Phi [f] = \ int \ limits_1 ^ 2 \ left ((f '(x)) ^ 2 + (f (x)) ^ 3 \ right) \, dx,

де штрихом позначена похідна за x , І знайти f (x) , Для яких значення Φ екстремально.

Неважко виписати

= \ Int \ limits_1 ^ 2 \ left (2f '(x) \ delta (f' (x)) +3 (f (x)) ^ 2 \ delta f (x) \ right) \, dx.

Очевидно, операцію взяття похідної по x вільно можна поміняти місцями з операцією δ . Тоді

\ Delta \ Phi = \ int \ limits_1 ^ 2 \ left (2f '(x) (\ delta f (x))' +3 (f (x)) ^ 2 \ delta f (x) \ right) \, dx .

Тепер, щоб δ f (x) не стояло під знаком похідної, що заважає винести за дужки δ f (x) з обох членів (що залишився в дужках суть варіаційна похідна), треба в першому доданку скористатися інтегруванням по частинах:

\ Delta \ Phi = \ int \ limits_1 ^ 2 2f '(x) (\ delta f (x))' \, dx + \ int \ limits_1 ^ 2 3 (f (x)) ^ 2 \ delta f (x) \ , dx =
= 2f '(x) \ delta f (x) \ bigg | _1 ^ 2 - \ int \ limits_1 ^ 2 (2f' (x)) '\ delta f (x) \, dx + \ int \ limits_1 ^ 2 3 ( f (x)) ^ 2 \ delta f (x) \, dx.

Тепер можна знову перетворити суму інтегралів в один і винести за дужки δ f :

\ Delta \ Phi = 2f '(x) \ delta f (x) \ bigg | _1 ^ 2 - \ int \ limits_1 ^ 2 (2f' (x)) '\ delta f (x) \, dx + \ int \ limits_1 ^ 2 3 (f (x)) ^ 2 \ delta f (x) \, dx =
= 2f '(x) \ delta f (x) \ bigg | _1 ^ 2 + \ int \ limits_1 ^ 2 \ left (- (2f' (x)) '\ delta f (x) +3 (f (x) ) ^ 2 \ delta f (x) \ right) \, dx =
= 2f '(x) \ delta f (x) \ bigg | _1 ^ 2 + \ int \ limits_1 ^ 2 \ left (- (2f' (x)) '+3 (f (x)) ^ 2 \ right) \ delta f (x) \, dx,

залишивши граничний член 2f '(x) \ delta f (x) \ bigg | _1 ^ 2 = 2f' (2) \ delta f (2)-2f '(1) \ delta f (1) , Що стоять окремо.

Граничний член можна прирівняти нулю [6], вирішивши тим самим завдання знаходження варіаційної похідної (дійсно, вона за визначенням є те, що стоїть під інтегралом у великих дужках, відповідати визначенню заважає тільки граничний член). Пояснення факту рівності нулю граничного члена не занадто строго (див. примітку [6]), але обмежимося їм, щоб зосередити увагу на головному.

Для початку зафіксуємо f в граничних точках, тоді граничний член зникне, так як δ f повинно буде при такій фіксації звертатися в нуль при x = 1 і x = 2 . Для багатьох задач така фіксація граничних умов має місце спочатку. При пошуку екстремуму і варіаційної похідної на класі функцій з такими граничними умовами граничний член можна просто відкинути. Але якщо граничні умови не накладені самої завданням, їх можна накласти штучно, вирішити задачу для фіксованих умов, а потім серед безлічі рішень для різних граничних умов можна вибрати оптимальне (це звичайно не складає труднощів). Коротше кажучи, рішення задачі з обнуленням граничного члена містить в собі серед інших і рішення початкової завдання, потрібно лише звузити клас вже знайдених рішень, змінюючи f (1) і f (2) і підібравши серед них краще. (Більш акуратний і загальний підхід - див. нижче).

Таким чином, тут під варіаційної похідної будемо розуміти варіаційну похідну по класу функцій з фіксованими кінцями, яка (при пошуку екстремал і в подібних завданнях) будучи прирівняної нулю, визначає поведінку функції всередині відрізка [1; \; 2] . У цьому сенсі, для нашого прикладу маємо:

\ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta f} = (-2f '(x))' +3 (f (x)) ^ 2,

а необхідна умова екстремальності полягає в рівності її нулю, тобто маємо рівняння для f :

-2f''(x) +3 (f (x)) ^ 2 = 0. \

Вирішення цього диференціального рівняння дасть явний вигляд f (x) , Але завдання знаходження рішень диференціального рівняння лежить вже за рамками варіаційного числення. Завдання останнього обмежена одержанням такого рівняння і, можливо, додаткових умов, що обмежують клас допустимих рішень.


3.7. Використання узагальнених функцій

У цьому розділі розглядається такий приватний, але практично важливий, випадок застосування узагальнених функцій при вирішенні варіаційних завдань, як використання дельта-функції Дірака.

Використання δ -Функції (не слід плутати її позначення δ (x) з символом варіації!), як і використання узагальнених функцій взагалі, дозволяє значно розширити клас функціоналів, які можуть бути записані у формі інтегральних функціоналів, і до яких, отже, застосовні основні прийоми варіювання (описані вище). При цьому до числа функціоналів, записуваних в такій формі, потрапляють такі практично важливі функціонали, як крайові функціонали, що сильно полегшує роботу з ними і робить її систематичної.

  • Для полегшення сприйняття даного розділу, будемо виділяти дельта-функцію жирним шрифтом: \ Boldsymbol \ delta - Щоб відрізняти від символу варіації.

Розглянемо простий приклад. Нехай треба знайти функцію f (x) , Що мінімізувала функціонал W [f] = \ frac {1} {2} \ int \ limits_0 ^ 1 (f '(x)) ^ 2 \, dx притому, що на неї накладені умови f (0) = 10, \; f (1) = 20 .

Для того, щоб було зручно вирішувати це завдання, накладені умови корисно записати у вигляді \ Gamma_0 [f] = 10, \; \ Gamma_1 [f] = 20 (В цьому випадку, \ Gamma_0 [f] = f (0), \; \ Gamma_1 [f] = f (1) суть функціонали). Не обмежуючись цим, використовуючи основну властивість дельта-функції, запишемо Γ 0 і Γ 1 в інтегральній формі:

\ Gamma_0 [f] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ boldsymbol \ delta (x-0) f (x) \, dx,
\ Gamma_1 [f] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ boldsymbol \ delta (x-1) f (x) \, dx.

Тепер можна (розширивши область інтегрування у визначенні W , Хоча б на нескінченно малу величину, за межі відрізка [0; 1] ) Вільно додавати і віднімати [7] функціонали W, \; \ Gamma_0, \; \ Gamma_1 , Що дозволяє формально просто звести рішення вихідної завдання до завдання про умовний екстремум функціонала (див. нижче), що зводиться до відшукання екстремуму нового функціоналу V = W - λ 0 Γ 0 - λ 1 Γ 1 з постійними множіталямі \ Lambda_0, \; \ lambda_1 , Конкретні значення яких після рішення задачі на відшукання мінімуму V потрібно підібрати, вирішивши відповідні алгебраїчні рівняння. Таким чином, граничні умови будуть задоволені. А головне, функціонал V при цьому буде мати цілком прозору інтегральну форму, зручну для варіювання.

Подібний прийом зручний при накладенні на шукану функцію не граничних умов, а умов задоволення деякого рівняння в кожній точці x .


3.8. Умовні екстремуми

  • Для стислості будемо говорити в цьому розділі про умовний екстремум, проте все тут написане одно застосовні до знаходження стаціонарних точок взагалі.

Умовним екстремумів називається екстремум не на всій області визначення функції (функціоналу), а на певному її підмножині, що виділяється спеціально накладеним умовою (або умовами). Зазвичай, мова йде про виділення цією умовою (умовами) підмножини області визначення з меншою розмірністю, що для скінченновимірних областей має певний наочний сенс, але для нескінченновимірних (які зазвичай області визначення функціоналів) накладаються умови доводиться розглядати лише абстрактно (що теоретично не заважає мати в увазі корисну аналогію з скінченновимірних випадком).

Нехай треба знайти екстремум функціонала Φ [f] при деякому накладене умови.

Зауваження та приклади

Як завжди, тривіальний випадок, коли накладене умова зводиться до явного виразу чогось через щось (наприклад, якщо відомо, що f = \ mathrm {const} \ cdot \ sin (x) + \ mathrm {const} '\ cdot \ cos (x) ), Немає сенсу спеціально розглядати, тому що це призводить просто до деякого переписування функціонала в новому вигляді (або навіть до відома функціоналу до функції кінцевої кількості змінних).

Розгляду заслуговує випадок, коли накладається у вигляді рівності нулю (в загальному випадку, константі) деяких інших функціоналів (одного чи кількох), або накладення на шукану функцію рівняння, якому вона повинна задовольняти.

Типовий випадок першого завдання з одним накладеним умовою - изопериметрическая завдання (наприклад, завдання Дідони). Прикладом другого типу умови може бути накладення в деяких фізичних задачах вимоги підпорядкування рівнянню безперервності (для стаціонарних задач - його стаціонарного варіанту \ Mathrm {div} \ vec v = 0 ).

Основні види завдання на умовний екстремум, які має сенс розглянути, такі:

  1. Треба знайти екстремум функціонала U [f] \ за умови рівності нулю іншого функціоналу V [f] = 0 \ ; (Те, що в правій частині нуль, не порушує спільності).
  2. Треба знайти екстремум функціонала U [f] \ за умови V_1 [f] = 0, \; V_2 [f] = 0, \; \ ldots, \; V_N [f] = 0 .
  3. Треба знайти екстремум функціонала U [f] \ за умови виконання для f \ рівняння v (f, \; f ', \; f'', \; \ ldots, \; f ^ {(n)}) = 0 , Де v \ - Деяка функція f \ та / або похідних f \ , Позначених штрихами.

(Третій тип умови виписаний тут не в самому загальному вигляді, але для наших цілей цього достатньо.)

До перших двох випадках практично прямо (на прийнятому зараз нами рівні строгості немає сенсу проводити тут кордон між випадком функцій конечномерного аргументу, і функціоналами) застосуємо метод невизначених множників Лагранжа. А саме, для знаходження умовного екстремуму U [f] \ при накладенні відповідних умов, потрібно вирішити варіаційну задачу для функціоналу \ Hat U [f] = U [f] - \ lambda V [f] в першому і \ Hat U [f] = U [f] - \ lambda_1 V_1 [f] - \ lambda_2 V_2 [f] - \ dots - \ lambda_N V_N [f] у другому випадку, а потім підібрати (вирішивши рівняння d \ hat U / d \ lambda = 0 в першому випадку і N рівнянь з приватними похідними по кожному з λ i у другому) такі λ , Які реалізують мінімум в знайденому сімействі функцій f, для котого ці λ є параметрами. Тобто, що стосується варіаційного обчислення, то ключовим моментом є знаходження та прирівнювання нулю варіації (або варіаційної похідної) для якогось нового функціоналу \ Hat U [f] , Для цих двох випадків:

  1. \ Delta \ hat U = \ delta (U - \ lambda V) = 0,
  2. \ Delta \ hat U = \ delta (U - \ lambda_1 V_1-\ lambda_2 V_2 - \ dots - \ lambda_N V_N) = \ delta (U - \ sum_i \ lambda_i V_i) = 0,

Третій же випадок розглянемо тут для інтегрального функціоналу U [f] = \ int \ limits_ \ Omega \ dots d \ Omega . Тоді знаходження умовного екстремуму зводиться спочатку до варіювання функціонала

\ Hat U [f] = U [f] - \ int \ limits_ \ Omega \ lambda (x) v (f, \; f ', \; f'', \; \ ldots, \; f ^ {(n )}) d \ Omega
\ Int \ limits_ \ Omega \ bigg (\ dots - \ lambda (x) v (f, \; f ', \; f'', \; \ ldots, \; f ^ {(n)}) \ bigg) d \ Omega ,

де x - Змінна, що належить області інтегрування Ω (Одномірної або n-мірної), а λ (x) - Якась невизначена функція x, яка увійде в рівняння, отримане після обчислення варіаційної похідної та прирівнювання її нулю.

Обгрунтуванням такого рішення для випадку 3 може служити уявлення для кожної точки x 0 з Ω виконання рівності v (f (x_0), f '(x_0), \ dots, f ^ {(n)} (x_0)) = 0 в x 0 як прирівнювання нулю функціоналу V_ {x_0} = \ int \ limits_ \ Omega \ delta (x-x_0) \ lambda (x_0) v (f, \; f ', \; f'', \; \ ldots, \; f ^ {(n )}) d \ Omega з використанням дельта-функції Дірака. Далі можна вважати на розглянутому тут неформальному рівні очевидним, що завдання стала аналогічною варіанту 2, і, після підсумовування по всіх x 0 , Її рішення зводиться до описаного вище.

Таким чином, ключовий момент із погляду варіаційного числення в знаходженні умовного екстремуму третього типу зводиться до

3. \ Delta \ hat U = \ delta \ int \ limits_ \ Omega \ bigg (\ dots - \ lambda (x) v (f, \; f ', \; f'', \; \ ldots, \; f ^ { (n)}) \ bigg) d \ Omega = 0.



4. Рівняння Ейлера - Лагранжа

Одним з основних класичних результатів варіаційного числення, що мають величезне практичне значення, є рівняння Ейлера - Лагранжа - диференціальні рівняння, яким повинна задовольняти функція, що є стаціонарної для досить загального у своєму класі і дуже важливого виду інтегрального функціоналу (а значить і функція, на якій такий функціонал досягає локального екстремуму, теж повинна необхідно задовольняти цим рівнянням).

Досить стандартним для отримання рівнянь Ейлера - Лагранжа є звичайний шлях з перебуванням варіаційної похідної та прирівнювання її нулю або практично збігається з ним спосіб виписування варіації з використанням стандартних позначень, як це описано вище.

Тут же для розширення типів прикладів наводиться висновок рівнянь Ейлера - Лагранжа з використанням похідної функціоналу за напрямком.


4.1. Висновок з використанням похідної за напрямком. Приватний приклад

Для гладких функцій дійсної змінної або конечномерного векторного аргументу максимум і мінімум заданої функції може бути знайдений шляхом знаходження точок, в яких похідна звертається в нуль (принаймні, це необхідна умова екстремуму). Аналогічно рішення гладких завдань варіаційного обчислення може бути отримано шляхом рішення відповідного рівняння Ейлера - Лагранжа.

Щоб проілюструвати цей процес, розглянемо спочатку конкретну задачу знаходження найкоротшою кривою на площині, що з'єднує дві точки (X_1, \; y_1) і (X_2, \; y_2) . Довжина кривої визначається виразом

A [f] = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} \ sqrt {1 + [f '(x)] ^ 2} \, dx,

де

f '(x) = \ frac {df} {dx},

і де y = f (x) , f (x 1) = y 1 і f (x 2) = y 2 . Функція f повинна мати хоча б одну похідну. Якщо f 0 - локальний мінімум і f 1 - Підходяща функція, яка звертається в нуль в граничних точках x 1 і x 2 і має хоча б першу похідну, тоді ми отримаємо

A [f_0] \ leqslant A [f_0 + \ varepsilon f_1]

для будь-якого ε , Близького до 0. Отже, похідна A [f 0 + ε f 1] по ε (Відповідна, з точністю до ненульового множника, першої варіації A , Обчисленої через похідну за напрямом) повинна звертатися в нуль при ε = 0 для будь-якої функції f 1 . Таким чином,

\ Int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} \ frac {f_0 '(x) f_1' (x)} {\ sqrt {1 + [f_0 '(x)] ^ 2}} \, dx = 0

при будь-якому виборі функції f 1 . Якщо припустити, що f 0 має другу безперервну похідну, тоді можна скористатися формулою інтегрування по частинах :

\ Int \ limits_a ^ bu (x) v '(x) \, dx = u (x) v (x) \ bigg | _a ^ b-\ int \ limits_a ^ b u' (x) v (x) \, dx.

Після заміни

u (x) = \ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}}, \ quad v '(x) = f_1' (x),

виходить

u (x) v (x) \ bigg | _ {x_1} ^ {x_2} - \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} f_1 (x) \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}} \ right] \, dx = 0,

але перший доданок звертається в нуль, оскільки v (x) = f 1 (x) було вибрано таким чином, щоб звертатися в нуль в точках x 1 і x 2 . Отже,

\ Int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} f_1 (x) \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2 }} \ right] \, dx = 0

для будь двічі диференціюється f 1 , Яка звертається в нуль на кінцях інтервалу. Це особливий випадок основний леми варіаційного обчислення:

I = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} f_1 (x) H (x) \, dx = 0

для будь диференціюється f 1 (x) , Яка звертається в нуль на кінцях інтервалу. Оскільки f 1 (x) є довільна функція в інтервалі інтегрування, можна зробити висновок, що H (x) = 0 . Тоді,

\ Frac {d} {dx} \ left [\ frac {f_0 '(x)} {\ sqrt {1 + [f_0' (x)] ^ 2}} \ right] = 0.

З цього рівняння випливає, що

\ Frac {d ^ 2f_0} {dx ^ 2} = 0.

Таким чином, екстремумів в нашій задачі є відрізки прямих ліній.

  • Легко помітити, що цей спосіб практично збігається зі звичайним (використовують стандартні позначення), якщо замінити ε f 1 на \ Delta f \ .

4.2. Висновок з використанням похідної за напрямком. Більш загальний випадок

Подібні ж обчислення можна провести і в загальному випадку [8], коли

A [f] = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} L (x, \; f, \; f ') \, dx

і f повинна мати дві безперервні похідні. Повторюючи міркування, знаходимо екстремальних f 0 , Приймаємо f = f 0 + ε f 1 , Знаходимо похідну за ε , Потім підставляємо ε = 0 :

\ Left. \ Frac {dA} {d \ varepsilon} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} \ left. \ Frac {dL} {d \ varepsilon} \ right | _ {\ varepsilon = 0} \, dx =
= \ Int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial f} f_1 + \ frac {\ partial L} {\ partial f '} f'_1 \ right) \, dx = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial f} f_1-f_1 \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial L} {\ partial f ' } \ right) \, dx + \ left. \ frac {\ partial L} {\ partial f '} f_1 \ right | _ {x_1} ^ {x_2} =
= \ Int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} f_1 \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial f} - \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial L} {\ partial f '} \ right) \, dx = 0.

Нарешті, в силу основний леми варіаційного обчислення можна зробити висновок, що функція L повинна задовольняти рівнянню Ейлера - Лагранжа

- \ Frac {d} {dx} \ frac {\ partial L} {\ partial f '} + \ frac {\ partial L} {\ partial f} = 0.

У загальному випадку, це рівняння є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, вирішивши яке, можна знайти екстремальних f .

Рівняння Ейлера - Лагранжа є необхідним, але не достатнім умовою наявності екстремуму. Додаткові умови формулюються окремо.


Примітки

  1. Рибніков, 1949, с. 356-378
  2. Рибніков, 1949, с. 377-378
  3. Друга варіація функціонала. Достатня умова мінімуму функціонала. - vi.horizalru.com/18.html
  4. Формально можна звести функціонал декількох аргументів \ Phi_n [f_1, \; f_2, \; \ ldots, \; f_n] , Використавши функцію з безліччю значень в n -Мірному просторі: f (x): = (f_1 (x), \; f_2 (x), \; \ ldots, \; f_n (x)) , До функціонала, залежному від однієї цієї нової функції Φ 1 [f] , Але чисто технічно нерідко буває зручніше використовувати початковий варіант без змін, так як при конкретних обчисленнях все зводиться в кінцевому рахунку до покомпонентного розрахунку, коли всі f_1 (x), \; f_2 (x), \; \ ldots, \; f_n (x) - Вещественнозначние (в крайньому випадку, комплекснозначних) функції.
  5. Незручність тут насамперед у тому, що похідні заважають винести всі δ f за дужки, привівши δΦ до виду \ Int (\ ldots) \ delta f (x) \, dx , Що й означає перебування варіаційної похідної (яка є все, що стоїть в дужках і позначено трьома крапками). Але навіть якщо функціонал такий, що похідна легко виноситься за дужки, тобто варіацію можна представити у вигляді \ Int (\ ldots) \ delta \ frac {df (x)} {dx} \, dx , То від диференціювання δ f все одно необхідно позбутися. Це необхідно, виходячи з тих міркувань, що за визначенням (і за змістом) при варіаційної похідної під інтегралом повинно стояти тільки δ f , І що d f / d x виявляється вже не "будь-який" функцією x . В іншому випадку, при пошуку екстремуму, може знайтися невраховане напрям, за яким \ Delta \ Phi \ ne 0 . Те, що d f / d x - Уже не будь-яка функція, легко побачити при накладенні граничних умов. Як описано в статті, це складне легко разрешаемо.
  6. 1 2 Використовуючи дельта-функцію, можна отримати більш лад результат відразу з урахуванням граничного члена, але тут, для спрощення викладу, обійдемося таким підходом.
  7. Звичайно, операція додавання і віднімання функціоналів в принципі визначена незалежно від форми їх запису, проте використання однакової форми зводить її до зовсім автоматичної, прозорою і технічно зручною, тому що все тепер зводиться просто до складання інтегралів по одній і тій же області, а значить - до складання подинтегральних виразів.
  8. Тут явно розібраний випадок, де функція Лагранжа L має аргументами всього одну функцію f і одну її першу похідну (цей випадок найбільш важливий практично), причому інтегрування ведеться по одній речової змінної. Проте теорема і доказ достатньо легко і прямо узагальнюються на будь-яке кінцеве число аргументів, будь-який кінцевий порядок за похідними, і на формулювання з інтегруванням по конечномерное області.

Література

  • Алексєєв В. М., Тихомиров В. М., Фомін С. В. Оптимальне управління. - М.: Наука, 1979
  • Афанасьєв В. Н., Колмановський В.Б., Носов В. Р. Математична теорія конструювання систем управління - М .: Вища школа, 2003. - 614 с. - ISBN 5-06-004162-X.
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи та програми. - М.: Наука, 1979
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Варіаційне числення в цілому 2-е вид., - М.: РГД, 2000
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. І., Кисельов А. І. Варіаційне числення, завдання і вправи. - М.: Наука, 1973
  • Петров Ю. П. З історії варіаційного числення і теорії оптимальних процесів / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1990. - № 32/33. - С. 53-73 ..
  • Рибніков К. А. Перші етапи розвитку варіаційного числення / / Історико-математичні дослідження. - М.-Л.: ГІТТЛ, 1949. - № 2. - С. 355-498.
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. Том 6: Електродинаміка. Переклад з англійської (видання 3) - Едіторіал УРСС. - ISBN 5-354-00704-6. - Глава 19: Принцип найменшої дії. (Дуже просте, неформальне і наочне введення в техніку варіювання на прикладі принципу найменшої дії; рекомендується для старших школярів і, можливо, студентів молодших курсів).
  • Фоменко А. Т. Варіаційні методи в топології. - М.: Наука, 1982
  • Ельсгольц Л. Е. Диференціальні рівняння та варіаційне числення. - М.: Наука, 1969.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Операційне числення
Лямбда-числення
Реляційне числення
Лямбда-числення
Тензорне числення
Логічне числення
Диференціальне числення
Інтегральне числення
Система числення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru