Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Варіація функції



План:


Введення

В математичному аналізі варіацією функції називається числова характеристика функції одного дійсного змінного, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на речовій прямий в \ R ^ n є узагальненням поняття довжини кривої, що задається в \ R ^ n цією функцією.


1. Визначення

Нехай f: [a, \; b] \ to \ R ^ n . Тоді варіацією (також повної варіацією чи повною зміною) функції f на відрізку [A, \; b] називається наступна величина:

V_a ^ bf \, \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ sup \ limits_P \ sum \ limits_ {k = 0} ^ m \ | f (x_ {k +1})-f (x_k) \ | ,

тобто точна верхня грань по всіх розбиття відрізка [A, \; b] довжин ламаних в \ R ^ n , Кінці яких відповідають значенням f в точках розбиття.


2. Пов'язані визначення

  • Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженою варіації, а клас таких функцій позначається V [a, \; b] або просто V .
    • У такому випадку визначена функція v (x) = V_a ^ x f , Що називається функцією повної варіації для f .
  • Позитивна варіація вещественнозначной функції f на відрізку [A, \; b] називається наступна величина:
    P_a ^ bf \, \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ sup \ limits_ {P} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ m \ max \ {0, \; f (x_ {k +1 })-f (x_k) \}.
  • Аналогічно визначається негативна варіація функції:
    N_a ^ bf \, \ stackrel {\ mathrm {def }}{=}- \ inf \ limits_ {P} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ m \ min \ {0, \; f (x_ {k + 1})-f (x_ {k}) \}.
  • Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми
    V_a ^ b f = P_a ^ b f + N_a ^ b f.

3. Властивості функцій обмеженою варіації

  • Сума і добуток функцій обмеженою варіації теж буде мати обмежену варіацію. Приватне двох функцій з V буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу V ), Якщо модуль знаменника буде більше, ніж позитивна постійна на відрізку [A, \; b] .
  • Якщо a <x \ leqslant y <b , А f \ in V [a, \; b] , То V_a ^ x f + V_x ^ y f = V_a ^ y f .
  • Якщо функція f неперервна в точці a праворуч і належить V [a, \; b] , То \ Lim \ limits_ {x \ to a {+}} v (x) = 0 .
  • Функція f (x) , Задана на відрізку [A, \; b] , Є функцією обмеженою варіації тоді і тільки тоді, коли вона може бути представлена ​​у вигляді суми зростаючій і зменшення на [A, \; b] функції (розкладання Жордана).
  • Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж рахункове безліч точок розриву, причому всі першого роду.
  • Функція обмеженою варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розкладання Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданія [1] [2].


4. Обчислення варіації

4.1. Варіація безперервно диференціюється

Якщо функція f: [a, \; b] \ to \ R ^ n належить класу C 1 , Тобто має безперервну похідну першого порядку на відрізку [A, \; b] , То f - Функція обмеженою варіації на цьому відрізку, а варіація обчислюється за формулою:

\ Int \ limits_a ^ b \ | f ^ \ prime (x) \ | \, dx,

тобто дорівнює інтегралу норми похідної.


5. Історія

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданія [1].

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданія у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусочно монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є -Періодічіческіх функцій класу V [0, \; 2 \ pi] сходяться в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стилт'єсу.


6. Варіації і узагальнення

Довжина кривої визначається як природне узагальнення варіації на випадок відображень в метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних визначень варіації функції:

6.1. Φ-варіація функції

Розглядається також клас V_ \ Phi [a, \; b] , Який визначається наступним чином:

V_ {\ Phi \, a} ^ bf \, \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ sup \ limits_ {a \ leqslant x \ leqslant b} \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n \ Phi (| f (x_k)-f (x_ {k-1 })|),

де Φ (x) ( x \ geqslant 0, \; \ Phi (0) = 0 ) - Позитивна при x> 0 монотонно зростаюча безперервна функція;

a = x_0 <x_1 <\ ldots <x_n = b - Довільне розбиття відрізка [A, \; b] .

Величина V_ {\ Phi \, a} ^ b f називається Φ -Варіацією функції f (x) на відрізку [A, \; b] .

Якщо V_ {\ Phi \, a} ^ b f <\ infty , То функція f (x) володіє обмеженою Φ -Варіацією на відрізку [A, \; b] . Клас всіх таких функцій позначається через V_ \ Phi [a, \; b] або просто як V Φ [3]. Визначення класу V_ \ Phi [a, \; b] запропоновано Л. Янгом (англ.) [4] (L. С. Young).

Окремим випадком класів Янга є класи Жордана, при цьому Φ (x) = x . Якщо Φ (x) = x p при 1 <p <\ infty , То виходять класи V p Н. Вінера [5] (N. Wiener).


6.1.1. Властивості

Якщо розглянути дві функції Φ 1 (x) і Φ 2 (x) такі, що

\ Varlimsup_ {x \ to 0 ^ +} \ frac {\ Phi_1 (x)} {\ Phi_2 (x)} <\ infty,

то для їх Φ -Варіацій справедливо відношення:

V_ {\ Phi_2} [a, \; b] \ subset V_ {\ Phi_1} [a, \; b].

Зокрема,

V_ {x ^ p} \ subset V_ {x ^ q} \ subset V_ {\ exp (-x ^ {- \ alpha})} \ subset V_ {\ exp (-x ^ {- \ beta})}

при 1 \ leqslant p <q <\ infty, \; 0 <\ alpha <\ beta <\ infty .


Література

  • Лебег, А. Інтегрування і відшукання примітивних функцій / Пер. з франц - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 324 с.
  • Натансон, І. П. Теорія функцій дійсної змінної - М .: Наука, 1974. - 484 с.
  • Барі, Н. К. Тригонометричні ряди - М .: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1961. - 936 с.

Примітки

  1. 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Acadmie des Sciences. - 1881. - T. 92. - № 5. - P. 228-230.
  2. Натансон, І. П. Теорія функцій дійсної змінної - М .: Наука, 1974. - С. 234-238. - 484 с.
  3. Барі, Н. К. Тригонометричні ряди - М .: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1961. - С. 287. - 936 с.
  4. Young L. С. Comptes Rendus de l'Acadmie des Sciences. - 1937. - T. 204. - № 7. - P. 470-472.
  5. Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - V. 3. - P. 72-94.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Варіація
Варіація фонеми
Варіація (статистика)
Варіація Харді
Варіація (математика)
Варіація функціонала
Варіація Фреше
Носій функції
Трійчастий функції
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru