Вейвлет-перетворення

Вейвлет-перетворення ( англ. Wavelet transform ) - інтегральне перетворення, яке являє собою згортку вейвлет -функції з сигналом.

Cпособ перетворення функції (або сигналу) в форму, яка або робить деякі величини вихідного сигналу більш піддаються вивченню або дозволяє стиснути вихідний набір даних. Вейвлетного перетворення сигналів є узагальненням спектрального аналізу. Термін ( англ. wavelet ) В перекладі з англійського означає "маленька хвиля". Вейвлети - це узагальнена назва математичних функцій певної форми, які локальні в часі і по частоті і в яких всі функції виходять з однієї базової, змінюючи її (зрушуючи, розтягуючи).


1. Вимоги до вейвлет

Для здійснення вейвлет-перетворення вейвлет-функції повинні задовольняти таким критеріям [1]:

1. Вейвлет повинен володіти кінцевою енергією:

E = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} {| \ psi (t) |} ^ 2 \, dt <\ infty


2. Якщо \ Hat {\ psi} (f)фур'є-перетворення для \ Psi (t) , Тобто

\ Hat {\ psi} (f) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) e ^ {-i (2 \ pi f) t} \, dt

тоді повинно виконуватися така умова:

C_ {\ psi} = \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ frac {{| \ hat {\ psi} (f) |} ^ 2} {f} \, df <\ infty

Це умова називається умовою допустимості, і з нього випливає що вейвлет при нульовій частотної компоненті повинен задовольняти умові \ Hat {\ psi} (0) = 0 або, в іншому випадку, вейвлет \ Psi (t) повинен мати середню рівне нулю.

3. Додатковий критерій пред'являється для комплексних вейвлетів, а саме, що для них Фур'є-перетворення повинно бути одночасно речовим і повинно спадати для негативних частот.

4. Локалізація: вейвлет повинен бути безперервним, інтегрованим, мати компактний носій і бути локалізованим як у часі (в просторі), так і по частоті. Якщо вейвлет в просторі звужується, то його середня частота підвищується, спектр вейвлета переміщається в область більш високих частот і розширюється. Цей процес повинен бути лінійним - звуження вейвлета вдвічі повинно підвищувати його середню частоту і ширину спектра також удвічі.


2. Властивості вейвлет перетворення

1. Лінійність

TW [\ alpha s1 (t) + \ beta s2 (t)] = \ alpha TW [s1 (t)] + \ beta TW [s2 (t)]

2. Інваріантність щодо зсуву

TW [s (t-t0)] = C (a, b-t0)

Зсув сигналу в часі на t0 приводить до зрушення вейвлет-спектра також на t0.

3. Інваріантність щодо масштабування

TW [s (t/a0)] = (1/a0) C (a/a0, b/a0)

Розтягування (стиснення) сигналу призводить до стиснення (розтягування) вейвлет-спектра сигналу.

4. Диференціювання

d ^ n {TW [s (t)]} / d t ^ n = TW [d ^ n (s (t)) / d t ^ n]

TW [d ^ n (s (t)) / dt ^ n = (-1) ^ n \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} {s (t) [d ^ n (\ psi (t )) / dt ^ n] t}

Звідси випливає, що байдуже, диференціювати Чи функцію або аналізуючий вейвлет. Якщо аналізуючий вейвлет заданий формулою, то це може бути дуже корисним для аналізу сигналів. Ця властивість особливо корисно, якщо сигнал заданий дискретним рядом.


3. Безперервне вейвлет-перетворення

Вейвлет перетворення для безперервного сигналу щодо вейвлет функції визначається наступним чином [1]:

T (a, b) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) {\ psi} ^ * \ left (\ frac {t - b} {a} \ right) \, dt

де {\ Psi} ^ * означає комплексне спряження для \ Psi , Параметр b \ in R відповідає тимчасовому зрушенню, і називається параметром положення, параметр a> 0 задає масштабування і називається параметром розтягування.

w (a) \ equiv \ frac {1} {\ sqrt {a}} - Вагова функція.

Ми можемо визначити нормовану функцію наступним чином

{\ Psi} _ {a, b} = \ frac {1} {\ sqrt {a}} {\ psi} \ left (\ frac {t - b} {a} \ right)

що означає часове зрушення на b і масштабування за часом на a. Тоді формула вейлет-перетворення зміниться на

T (a, b) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) {{\ psi} ^ *} _ {a, b} \, dt

Вихідний сигнал може бути відновлений за формулою зворотного перетворення

x (t) = \ frac {1} {C_ {\ psi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} T (a, b ) {\ psi} _ {a, b} (t) \, da \, db


4. Дискретне вейвлет-перетворення

У дискретному випадку, параметри масштабування a і зсуву b представлені дискретними величинами:

a = {a_0} ^ m і b = n {b_0}

Тоді аналізуючий вейвлет має наступний вигляд:

{\ Psi} _ {m, n} = {a_0} ^ {-m / 2} {\ psi} \ left (\ frac {t - n b_0} {{a_0} ^ m} \ right)

де m і n - цілі числа.

У такому випадку для безперервного сигналу дискретне вейвлет-перетворення та його зворотне перетворення запишуться наступними формулами:

T_ {m, n} = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) {{\ psi} ^ *} _ {m, n} (t) \, dt

Величини T_ {m, n} також відомі як вейвлет-коефіцієнти.

x (t) = K_ {\ psi} \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T_ {m, n} {\ psi} _ {m, n} (t)

K_ {\ psi} є постійна нормировки.


5. Графічне представлення

Тимчасове та спектральне представлення WAVE-вейвлета


Тимчасове та спектральне представлення вейвлета Морле

6. Застосування

Вейвлет-перетворення широко використовується для аналізу сигналів. Крім цього, воно знаходить велике застосування в області стиснення даних. У дискретному вейвлет-перетворенні найбільш значима інформація в сигналі міститься при високих амплітудах, а менш корисна - при низьких. Стиснення даних може бути отримано за рахунок відкидання низьких амплітуд. Вейвлет-перетворення дозволяє отримати високе співвідношення стиснення в поєднанні з хорошою якістю відновленого сигналу. Вейвлет-перетворення було вибрано для стандартів стиснення зображень JPEG2000 і ICER. Однак, при малих стиснення вейвлет-перетворення поступається за якістю в порівнянні з віконним Фур'є-перетворенням, яке лежить в основі стандарту JPEG.

Вибір конкретного виду та типу вейвлетів багато в чому залежить від аналізованих сигналів і завдань аналізу. Для отримання оптимальних алгоритмів перетворення розроблені певні критерії, але їх ще не можна вважати остаточними, оскільки вони є внутрішніми по відношенню до самих алгоритмах перетворення і, як правило, не враховують зовнішніх критеріїв, пов'язаних з сигналами і цілями їх перетворень. Звідси випливає, що при практичному використанні вейвлетів необхідно приділяти достатню увагу перевірці їх працездатності та ефективності для поставлених цілей в порівнянні з відомими методами обробки і аналізу.


Примітки

Переваги:

  • Вейвлетного перетворення володіють всіма достоїнствами перетворень Фур'є.
  • Вейвлетного базису можуть бути добре локалізованими як по частоті, так і за часом. При виділенні в сигналах добре локалізованих різномасштабних процесів можна розглядати тільки ті масштабні рівні розкладання, які представляють інтерес.
  • Базисні вейвлети можуть реалізуватися функціями різної гладкості.

Недоліки:

  • Можна виділити один недолік, це відносна складність перетворення.



Література

  • Addison PS The Illustrated Wavelet Transform Handbook. - IOP, 2002.