Векторна величина - фізична величина, яка є вектором ( тензором рангу 1). Протиставляється з одного боку скалярним (тензор рангу 0), з іншого - тензорним величинам (строго кажучи - тензор рангу 2 і більше). Також може протиставлятися тим чи іншим об'єктам зовсім інший математичної природи.

У більшості випадків термін вектор вживається в фізиці для позначення вектора в так званому "фізичному просторі", тобто в звичайному тривимірному просторі в класичній фізиці чи в чотиривимірному [1] просторі-часі в сучасній фізиці (в останньому випадку поняття вектора та векторної величини збігаються з поняттям 4-вектора і 4-векторної величини).

Вживання словосполучення "векторна величина" практично вичерпується цим. Що ж стосується вживання терміна "вектор", то воно, незважаючи на тяжіння за замовчуванням до цього ж полю застосовності, у великій кількості випадків все ж вельми далеко виходить за такі рамки. Про це див нижче.



1. Вживання термінів вектор і векторна величина у фізиці

В цілому у фізиці поняття вектора практично повністю збігається з таким в математиці. Однак є термінологічна специфіка, пов'язана з тим, що в сучасній математиці це поняття дещо надмірно абстрактно (по відношенню до потреб фізики).

В математиці, вимовляючи "вектор" розуміють швидше вектор взагалі, тобто будь-який вектор будь-якого як завгодно абстрактного лінійного простору будь-якої розмірності і природи, що, якщо не докладати спеціальних зусиль, може призводити навіть до плутанини (не стільки, звичайно, по суті, скільки за зручністю слововживання). Якщо ж необхідно конкретизувати, в математичному стилі доводиться або говорити досить довго ("вектор такого-то і такого-простору"), або мати на увазі мається на увазі явно описаним контекстом.

У фізиці ж практично завжди мова йде не про математичні об'єкти (що володіють тими чи іншими формальними властивостями) взагалі, а про певну їх конкретної ("фізичної") прив'язці. Враховуючи ці міркування конкретності з міркуваннями стислості і зручності, можна зрозуміти, що термінологічна практика у фізиці помітно відрізняється від математичної. Однак вона не входить до останньої в явне протиріччя. Цього вдається досягти кількома простими "прийомами". Перш за все, до них відноситься угоду про вживання терміна за замовчуванням (коли контекст особливо не обмовляється). Так, у фізиці, на відміну від математики, під словом вектор без додаткових уточнень зазвичай розуміється не "якийсь вектор будь-якого лінійного простору взагалі", а перш за все вектор, пов'язаний з "звичайним фізичним простором" (тривимірним простором класичної фізики або чотиривимірним простором -часом [2] фізики релятивістської). Для векторів ж просторів, не пов'язаних прямо і безпосередньо з "фізичним простором" або "простором-часом", якраз застосовують спеціальні назви (іноді включають слово "вектор", але з уточненням). Якщо вектор деякого простору, не пов'язаного прямо і безпосередньо з "фізичним простором" або "простором-часом" (і яке важко відразу якось виразно охарактеризувати), вводиться в теорії, він часто спеціально описується як "абстрактний вектор".

Все сказане ще більшою мірою, ніж до терміну "вектор", відноситься до терміну "векторна величина". Умовчання в цьому випадку ще жорсткіше увазі прив'язку до "звичайного простору" або простору-часу, а вживання по відношенню до елементів абстрактних векторних просторів швидше практично не зустрічається, принаймні, таке застосування бачиться рідкісним винятком (якщо взагалі не застереженням).

У фізиці векторами найчастіше, а векторними величинами - практично завжди - називають вектори двох схожих між собою класів:

  1. в класичній фізиці (класичній механіці, електродинаміці в класичній тривимірної формулюванні і в інших областях фізики, переважно сформувалися до початку ХХ століття) векторними величинами або просто векторами називають, як правило, вектори звичайного тривимірного простору - тобто звичайні "геометричні" вектори або, бути може, що відрізняються від таких на скалярний множник (у тому числі і на множник розмірний). Хоча в цих галузях фізики фактично і застосовувалися різноманітні об'єкти, усвідомлювані нинішньої математикою як вектори - у фізичній термінології це майже не отримало відображення (так наприклад, перетворення Фур'є в класичній електродинаміці і класичної теорії суцільних середовищ досить інтенсивно застосовується, але традиційно майже не розглядається в контексті класичної з використанням слова "вектор" стосовно до функцій, хоча з математичної точки зору це було б цілком законно [3]). Мабуть, єдиним явним виключенням з правила є досить вільне векторами елементів фазового або конфігураційного просторів [4].
  2. в релятивістській фізиці [5] (починаючи з Пуанкаре, Планка і Маньківського) і, в значній мірі, в сучасній теоретичній фізиці під векторами і векторними величинами розуміються насамперед вектори чотиривимірного простору-часу [6] і безпосередньо з ним пов'язані (що відрізняються на скалярний множник від векторів 4-переміщення) - 4-вектори.
  3. в квантовій механіці, квантовій теорії поля ітд слово "вектор" стало стандартно застосовуватися і для позначення такого об'єкта, як вектор стану. Цей вектор може мати в принципі будь-яку розмірність, а як правило - бесконечномерен. Однак плутанини тут практично не виникає, оскільки слово вектор тут використовується практично виключно в стійкому поєднанні вектор стану, і ніколи окремо, за винятком хіба що випадків, коли контекст вже настільки очевидний, що плутанина просто неможлива (наприклад, при повторному вживанні окремого слова вектор у щодо об'єкта, який тільки що перед цим був названий, як вектор стану або при використанні однозначних специфічних позначень - таких наприклад, як дужки Дірака, - або відповідних їм термінів. Для ряду векторів специфічних просторів використовуються спеціальні слова (такі, як наприклад Спінор) або явні назви (вектор колірного простору, ізотопічний спин ітд). Притому що словосполучення "векторна величина" практично ніколи не застосовується до таких абстрактним векторах. Все це дозволило терміну "векторний" зберегти в якості, мабуть, основного сенсу - сенс 4-вектора. Саме цей зміст вкладається в терміни векторне поле, векторна частка ( векторний бозон, векторний мезон); сполучений сенс у подібних термінах має і слово скалярний.


Приклади векторних фізичних величин: швидкість, сила, потік тепла.


2. Генезис векторних величин

Яким чином фізичні "векторні величини" прив'язані до простору? Перш за все, впадає в око те, що розмірність векторних величин (у тому звичайному сенсі вживання цього терміна, який роз'яснено вище) збігається з розмірністю одного і того ж "фізичного" (і "геометричного") пространатсва, наприклад, простір тривимірно і вектор електричного поля трьохмірний. Інтуїтивно можна помітити також, що будь-яка векторна фізична величина, яку б туманну зв'язок вона не мала зі звичайною просторової протяжністю, тим не менш має цілком певний напрям саме в цьому звичайному просторі.

Однак виявляється, що можна досягти і набагато більшого, прямо "звівши" весь набір векторних величин фізики до найпростіших "геометричним" векторах, вірніше навіть - до одного вектору - вектору елементарного переміщення, а більш правильно було б сказати - зробивши їх усіх від нього.

Ця процедура має дві різні (хоча по суті детально повторюють один одного) реалізації для тривимірного випадку класичної фізики і для чотиривимірний просторово-часової формулювання, звичайної для сучасної фізики.


2.1. Класичний тривимірний випадок

Будемо виходити з звичайного тривимірного "геометричного" простору, в якому ми живемо і можемо переміщатися.

В якості вихідного і зразкового вектора візьмемо вектор нескінченно малого переміщення. Досить очевидно, що це звичайний "геометричний" вектор (як і вектор кінцевого переміщення).

Зауважимо тепер відразу, що множення вектора на скаляр завжди дає новий вектор. Те ж можна сказати про суму і різниці векторів. У цій главі ми не будемо робити різниці між полярними і аксіальними векторами [7], тому зауважимо, що і векторний твір двох векторів дає новий вектор.

Також новий вектор дає диференціювання вектора по скаляру (оскільки така похідна є межа відносини різниці векторів до скаляру). Це можна сказати далі і про похідні всіх вищих порядків. Те ж вірно по відношенню до інтегрування по скаляр (часом, обсягом).

Тепер зауважимо, що, виходячи з радіус-вектора r або з елементарного переміщення d r, ми легко розуміємо, що векторами є (оскільки час - скаляр) такі кінематичні величини, як

З швидкості і прискорення, множенням на скаляр (масу), з'являються

Оскільки нас зараз цікавлять і псевдовектори, зауважимо, що

  • за допомогою формули сили Лоренца напруженість електричного поля і вектор магнітної індукції прив'язані до векторів сили і швидкості.

Продовжуючи цю процедуру, ми виявляємо, що всі відомі нам векторні величини виявляються тепер не тільки інтуїтивно, але і формально, прив'язані до вихідного простору. А саме всі вони в певному сенсі є його елементами, тому виражаються в сутності як лінійні комбінації інших векторів (зі скалярними множниками, можливо, і розмірними, але скалярними, а тому формально цілком законними).


2.2. Сучасний чотиривимірний випадок

Ту ж процедуру можна виконати виходячи з чотиривимірного переміщення. Виявляється, що всі 4-векторні величини "відбуваються" від 4-переміщення, будучи тому в певному сенсі такими ж векторами простору-часу, як і саме 4-переміщення.

3. Види векторів стосовно до фізики

  • Полярний або істинний вектор - звичайний вектор.
  • Аксіальний вектор (псевдовектор) - насправді не є справжнім вектором, однак формально майже не відрізняється від останнього, за винятком того, що змінює напрямок на протилежний при зміні орієнтації системи координат (наприклад, при дзеркальному відображенні системи координат). Приклади псевдовекторов: всі величини, що визначаються через векторний твір двох полярних векторів.
  • Для сил виділяється декілька різних класів еквівалентності.

Примітки

  1. У багатьох сучасних теоріях розмірність фундаментального простору-часу більше, ніж 4; втім, це в принципі досить мало що міняє, до того ж, жодна з цих теорій поки не досягла статусу загальновизнаної і досить підтвердженою.
  2. У багатьох сучасних теоріях, наприклад, в теорії струн, простір-час не 4-мірно, а має більшу кількість вимірів, проте є найчастіше досить прямим і простим узагальненням свого 4-мірного прототипу, а можливість плутанини практично виключена контекстом самих цих теорій (не кажучи вже про те, що розмірність тоді часто вказується явно, а інших, крім розмірності, відмінностей від звичайного простору-часу не передбачається).
  3. Для того, щоб уникнути протиріч між фізичною і математичною термінологією, існує такий спосіб: замість виразу "вектор такого-простору" застосовувати синонимичное вираз "елемент такого-простору", математично повністю еквівалентне, але не створює плутанини при вживанні поряд з звичайних для фізики термінологічних традицій.
  4. важко сказати, що послужило цьому в більшій мірі: те, що ці простори (особливо конфигурационное) виглядають занадто прямим узагальненням звичайного фізичного простору, в окремих випадках просто з останнім співпадаючим, або те, що теоретична механіка, в якій ці поняття виникли, вважається розділом не фізики, а математики.
  5. Під релятивістської фізикою отут насамперед розуміється стандартна 4-мірна формулювання релятивістської механіки, електродинаміки та інших теорій. У прінуіпе, таке формулювання використовується і для квантових теорій, і для не-квантових.
  6. Найбільш явним виходом за ці рамки за замовчуванням (тобто без спеціальних термінологічних уточнюючих маркерів) є вже згадувані теорії, засновані на припущенні про більшу, ніж 4, розмірності фундаментального фізичного простору-часу, починаючи з теорії Калуци, до теорії струн ітд.
  7. При потребі такий поділ легко зробити, але нас зараз цікавить в першу побудова найбільш повного набору векторних фізичних величин, а не їх класифікація, на цьому ми і зосередимося.
  8. Для кутової швидкості, правда, простіше всього застосувати зворотне міркування: оскільки векторне твір кутової швидкості та радіус-вектора є швидкість, значить кутова швидкість - вектор (точніше - псевдовектор).