Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Векторне поле


Vectorfield.svg

План:


Введення

Vectorfield.svg

Векторне поле - це відображення, яке кожній точці розглянутого простору ставить у відповідність вектор з початком у цій точці. Наприклад вектор швидкості вітру в даний момент часу змінюється від точки до точки і може бути описаний векторним полем.


1. Визначення і варіації

1.1. Евклідова простір

Для евклідова простору векторне поле, заданий на евклідовому просторі, відповідає полю напрямків, де кожній точці простору зіставляється деяка пряма, що проходить через дану точку. Точка простору, в якій векторне поле дорівнює нулю, називається особливою точкою векторного поля, в ній напрям не визначено.

1.2. Різноманіття

У більш загальному випадку, коли початковий простір є різноманіттям, векторне поле визначається як перетин дотичного розшарування до даного різноманіттю, тобто відображення, яке кожній точці p вектор X p з дотичного простору в p .

1.3. У фізиці

У фізиці термін векторне поле, крім загального значення, описаного вище, має спеціальне значення, в основному відносно фундаментальних полів (див. нижче). Сенс цього вживання зводиться до того, що фундаментальні фізичні поля класифікуються за природою їх потенціалу, і один з таких типів - векторні поля (як електромагнітне або глюонної поля).

Терміни поле і силові лінії поля ( англ. field, lines of force ) Ввів у фізику Майкл Фарадей близько 1830 р. при дослідженні електромагнітних явищ. Основи аналітичної теорію силових полів розробили Максвелл, Гіббс і Хевісайд у другій половині XIX століття.


2. Окремі випадки векторних полів

2.1. Векторні поля на прямий

Будь-яку вещественнозначную функцію речового змінного можна інтерпретувати як одномірне векторне поле.

2.2. Векторні поля на площині

Якщо \ Mathbf {r} - радіус-вектор, який в заданій системі координат має вигляд \ Mathbf {r} = (x, \ y) , То векторне поле описується вектор-функцією виду:

\ Mathbf {F} (\ mathbf {r}) = (F_x (x, \ y), \ F_y (x, \ y))

2.3. Векторні поля в тривимірному просторі

Якщо \ Mathbf {r} - радіус-вектор, який в заданій системі координат має вигляд \ Mathbf {r} = (x, \ y, \ z) , То векторне поле описується вектор-функцією виду:

\ Mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ {F_x (x, \ y, \ z), \ F_y (x, \ y, \ z), \ F_z (x, \ y, \ z) \ }

У тривимірному просторі мають сенс такі характеристики векторного поля

Криволінійний інтеграл

\ Int \ limits_ {C} \ mathbf F \ cdot \ mathbf {dl} = \ int \ limits_ {C} F_ \ tau dl,

де точка означає скалярний твір, \ Mathbf {dl} - Векторний елемент криволінійного шляху, уздовж якого відбувається інтегрування, F τ - Проекція \ Mathbf F на (позитивну) дотичну до криволінійній дорозі, d l - Скалярний елемент шляху (елемент довжини), C - конкретна крива - шлях інтегрування (зазвичай покладається досить гладкою). Мабуть, найпростішим фізичним прообразом такого інтеграла є робота сили \ Mathbf F , Що діє на точку при переміщенні точки по заданому шляху.

Циркуляція - інтеграл по замкнутому контуру:

\ Gamma = \ oint \ limits_ {C} \ mathbf F \ cdot \ mathbf {dl} = \ oint \ limits_ {C} F_ \ tau dl,

де подинтегральной вираз співпадає з описаним трохи вище, а відмінність полягає в шляху інтегрування C, який в даному випадку за визначенням замкнутий, що позначається гуртком на знакові інтеграла.

Потік векторного поля \ Mathbf {F} (\ mathbf {r}) через поверхню S визначається як інтеграл по S:

\ Phi _ {F} = \ iint \ limits_ {S} {\ mathbf F \ cdot \ mathbf {dS}} = \ iint \ limits_ {S} {F_n \ dS} ,

де F n - Проекція вектора поля на нормаль до поверхні, \ Mathbf {dS} - "Векторний елемент поверхні", який визначається, як вектор одиничної нормалі, помножений на d S . Найпростішим прикладом цієї конструкції є обсяг рідини, що проходить через поверхню S, при її течії зі швидкістю F.

Аналогом похідної для векторного поля виступає тензор приватних похідних ( якобіан), який в декартових координатах має вигляд:

J = \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial F_x} {\ partial x} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_x} {\ partial y} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_x} {\ partial z} (x, \ y, \ z) \ \ \ dfrac {\ partial F_y} {\ partial x} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_y} {\ partial y} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_y} {\ partial z} (x, \ y, \ z) \ \ \ dfrac {\ partial F_z} {\ partial x} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_z} {\ partial y} (x, \ y, \ z) & \ dfrac {\ partial F_z} {\ partial z} (x, \ y, \ z) \ end {bmatrix}

Дивергенція векторного поля - слід такого тензора похідних. Вона не залежить від системи координат (є інваріантом перетворень координат, скаляром), а в прямокутних декартових координатах обчислюється за формулою:

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ frac {\ partial F_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial F_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial F_z} {\ partial z }

Це ж вираз можна записати з використанням символічного оператора Набла

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}

Теорема Остроградського-Гаусса дозволяє обчислити потік векторного поля за допомогою об'ємного інтеграла від дивергенції поля.

Ротор - векторна характеристика вихровий складової векторного поля. Це вектор з координатами:

\ Operatorname {rot} \; \ mathbf {F} = \ left (\ frac {\ partial F_z} {\ partial y} - \ frac {\ partial F_y} {\ partial z} \ right) \ mathbf i + \ left (\ frac {\ partial F_x} {\ partial z} - \ frac {\ partial F_z} {\ partial x} \ right) \ mathbf j + \ left (\ frac {\ partial F_y} {\ partial x} - \ frac {\ partial F_x} {\ partial y} \ right) \ mathbf k ,

де i, j і k - одиничні орти для осей x, y і z відповідно.

Для зручності запам'ятовування можна умовно представляти ротор як векторне твір :

\ Operatorname {rot} \; \ mathbf {F} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F}

Градієнт - найважливіша і найпростіша операція, що дозволяє отримати векторне поле з скалярного поля. Отримане застосуванням такої операції до скалярному полю f векторне поле називається градієнтом f:

\ Mathbf {grad} f = \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y}, \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ right ) \ equiv \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ mathbf i + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ mathbf j + \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ mathbf k ,

або, записуючи за допомогою спостеріга :

\ Mathbf {grad} f \ equiv \ nabla f.

Векторне поле, дивергенція якого всюди дорівнює нулю, називається соленоідального; воно може бути представлене як ротор деякого іншого векторного поля.

Векторне поле, ротор якого дорівнює нулю в будь-якій точці, називається потенційним (безвіхревое); воно може бути представлене як градієнт деякого скалярного поля (потенціалу).

Має місце теорема Гельмгольца : якщо всюди в області D у векторного поля визначені дивергенція і ротор, то це поле може бути представлено у вигляді суми потенційного і соленоідального поля.

Векторне поле, у якого і дивергенція, і ротор всюди дорівнюють нулю, називається гармонійним, його потенціал є гармонійну функцію.


2.3.1. Інтегральні криві (силові лінії)

Силові лінії магнітного поля

Силовий лінією (векторної лінією або інтегральної кривої, в залежності від контексту) для поля \ Mathbf {F} (\ mathbf {r}) називається крива \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (t) , Дотична до якої в усіх точках кривої співпадає із значенням поля:

\ Frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t))

Для силових полів силові лінії наочно показують напрямок впливу польових сил.

Якщо в досить малій області простору поле ніде не звертається в нуль, то через кожну точку цієї області проходить одна і тільки одна силова лінія. Точки, де вектор поля нульовий - особливі, в них напрям поля не визначено, і поведінка силових ліній в околиці цих точок може бути різним: можливо, через особливу точку проходить нескінченно багато силових ліній, але можливо, що не проходить жодна.

Векторне поле називається повним, якщо його інтегральні криві визначені на всьому різноманітті.


2.4. Векторні поля в n-мірному просторі

Всі перераховані для векторних полів у тривимірному просторі конструкції і властивості безпосередньо узагальнюються на будь-яку кінцеву розмірність простору n.

При цьому більшість таких узагальнень цілком тривіальні, за винятком визначення ротора, для коректного побудови якого в довільному n-мірному випадку, на відміну від тривимірного, доводиться скористатися зовнішнім, а не векторним (яке визначено лише для тривимірного випадку) твором. При n = 2 відповідна операція набуває вигляду Псевдоскалярний твори.

Крім того, у разі довільного n потрібна певна акуратність c визначенням потоку. Основні визначення виявляються повністю аналогічними для потоку через гіперповерхні розмірності (n - 1).


3. Фізичні приклади

У фізиці векторне поле - це найчастіше поле деякої сили (або тісно пов'язаної з силою напруженості поля), швидкості, зсувів чи іншій векторної величини.

Приклади.

  • Електромагнітне поле. Це поле дає приклади векторних полів (взагалі кажучи - залежних від часу) у старому тривимірному сенсі: напруженість електричного поля, поле магнітної індукції, векторний потенціал (тривимірний), а також такі їх функції, як, наприклад, вектор Пойнтінга, що також є векторним полем в математичному сенсі. Також електромагнітне поле є прикладом векторного поля в більш сучасному (чотиривимірному) сенсі, як це трохи докладніше описано нижче).
    • Окремий випадок електромагнітного поля - електростатичне поле - дає один з найпростіших і найважливіших прикладів векторного поля (тривимірним векторним полем, що не залежать від часу, в електростатиці є напруженість електричного поля).
    • Інший цікавий окремий випадок дає магнітостатики, яка досліджує векторне поле з дещо іншими властивостями, ніж електростатика - вихровий поле напруженості магнітного поля або магнітної індукції, до того ж пов'язане з іншим векторним полем - полем векторного потенціалу.
  • Поле швидкостей рідини в гідрогазодинаміки або газу в аеродинаміці. Гідродинамічна аналогія є найбільш наочною для фізичного розуміння основних конструкцій векторного аналізу. При гідродинамічної (гідравлічної) інтерпретації поле - це поле швидкостей в рідині. Векторне поле, в такому випадку, відповідає сталому потоку (тобто поле мається на увазі залежать лише від просторових координат). Якщо потік змінюється з часом, то його слід описувати змінним векторним полем, що залежать від часу.

Історично гідродинаміка справила величезний вплив на формування основних конструкцій векторного аналізу та самій його термінології. Так, гідродинамічний походження мають такі поняття, як

  • потік векторного поля,
  • вихор ( ротор) і циркуляція векторного поля,
  • лінія струму

а також, в тій чи іншій мірі, і багато інших (практично кожне з них має якщо не гідродинамічний походження, то гідродинамічну інтерпретацію).


4. Особливості вживання терміна у фізиці

В цілому у фізиці термін векторне поле має те ж значення, що і в математиці, описане вище. У цьому сенсі, векторним полем можна назвати будь-яку векторнозначную фізичну величину, яка є функцією точки простору, найчастіше залежить також і від часу.

Однак існує і специфічний випадок застосування цього терміна, що зустрічається головним чином у класифікації фундаментальних фізичних полів. У цьому випадку слова "векторне поле" мають на увазі, що векторним полем ( 4-векторне або вищої розмірності, якщо ми маємо справу з абстрактними багатовимірними теоретичними моделями) є найбільш фундаментальна величина - потенціал, а не її похідні (напруженість поля і т. п.). Так, наприклад, до векторних полях відносять електромагнітне поле, потенціал якого є 4-векторним полем, у той час як його напруженість з сучасної точки зору є тензор. Гравітаційне поле називають в цьому сенсі тензорним, оскільки його потенціал є тензорне поле.

Практичним синонімом слова "векторне поле" в цьому сенсі є в сучасній фізиці термін векторна частка (також, розводячи ці близькі поняття, про векторної частці говорять як про порушення векторного поля, або, висловлюючись дещо традиційно - векторна частка є квант векторного поля). Ще один практичний синонім - частка спина 1 або поле спина 1.

З фундаментальних полів до векторних (у зазначеному сенсі) відносяться електромагнітне ( фотонное), глюонної (поле сильних взаємодій), а також поле масивних векторних бозонів - переносників слабкої взаємодії. Гравітаційне поле ж, на відміну від перерахованих, є полем тензорним.

З розглянутої класифікацією (класифікацією за спину фундаментального бозонів поля) безпосередньо пов'язані деякі властивості відповідного поля, наприклад, притягуються або відштовхуються при взаємодії допомогою цього поля частинки однакового заряду (що відноситься до даного типу взаємодії), однаковий або протилежний такий заряд у частинок і античастинок. Частинки, які взаємодіють за допомогою векторного поля відштовхуються при однаковому заряді, а притягуються при протилежному, а пара частинка - античастинка має протилежний один одному заряд (як, зокрема, в разі електромагнітного поля) - на противагу властивостями гравітаційного поля і гравітаційних зарядів.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Потенційне векторне поле
Соленоідального векторне поле
Векторне розшарування
Векторне числення (базова)
Векторне твір в семімерном просторі
Поле
Поперечне поле
Заливне поле
Просте поле
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru